Калькулятор критического значения Z

Введите расчет

Уровень доверия (%)

Тип теста Two-tailed (z* = Φ⁻¹(1 − α/2)) One-tailed (z = Φ⁻¹(1 − α))

Результатов

Критическое значение Z (z*)

1,96

z-оценка для выбранного уровня доверия

Уровень значимости (α)	0,05
Использованная кумулятивная вероятность	0,975

Что такое критическое значение Z?

Критическое значение z (его часто обозначают z*) задаёт границу критической области в стандартном нормальном распределении. Это z-оценка, соответствующая выбранному уровню доверия или уровню значимости (α). Например, всем известное \(z^* = 1{,}96\) получается из 95%-го двустороннего уровня доверия. Калькулятор обращает функцию распределения стандартной нормальной величины (CDF), поэтому вы можете сразу перейти от уровня доверия к нужному значению z.

Как пользоваться калькулятором

Укажите уровень доверия в процентах (например, 95 для 95%). Затем выберите тип теста: двусторонний (обычный вариант для доверительных интервалов и двусторонних гипотез) или односторонний (для направленной проверки). Калькулятор выдаст критическое значение z вместе с уровнем значимости α и использованной кумулятивной вероятностью.

Разбор формулы

Сначала переводим уровень доверия в уровень значимости: \(\alpha = 1 - \text{уровень доверия}\). В двустороннем тесте площадь α делится между двумя хвостами, поэтому на каждый хвост приходится \(\alpha/2\). Критическое значение — это обратная нормальная функция в точке \(1 - \alpha/2\), то есть

$$z^* = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)$$

В одностороннем тесте вся площадь α сосредоточена в одном хвосте, поэтому

$$z = \Phi^{-1}\!\left(1 - \alpha\right)$$

Здесь \(\Phi^{-1}\) — квантиль (обратная CDF) стандартного нормального распределения, вычисляемая с помощью высокоточного рационального приближения.

Реклама

Односторонние тесты помещают всю область альфа в один хвост (правый или левый).

Пример расчёта

Допустим, нужно критическое значение для 95% и двустороннего теста. Тогда \(\alpha = 1 - 0{,}95 = 0{,}05\), а \(\alpha/2 = 0{,}025\). Кумулятивная вероятность равна \(1 - 0{,}025 = 0{,}975\). Значение \(\Phi^{-1}(0{,}975)\) даёт

$$z^* \approx 1{,}95996$$

— то самое классическое 1,96, которое используется в доверительных интервалах.

Частые вопросы

Почему при доверии 95% z = 1,96? Потому что слева от 1,96 под кривой стандартного нормального распределения лежит 0,975 всей площади, а в каждом хвосте остаётся по 2,5%.

В чём разница между односторонним и двусторонним тестом? Двусторонний тест распределяет α между двумя хвостами (поэтому z* получается больше); односторонний помещает всю α в один хвост.

Какое значение z соответствует доверию 99%? Для двустороннего теста — примерно 2,5758.