ما هي قيمة Z الحرجة؟
تُحدّد قيمة z الحرجة (التي يُرمز إليها غالبًا بـ \(z^*\)) حدّ منطقة الرفض في التوزيع الطبيعي المعياري. وهي درجة z المقابلة لمستوى ثقة مختار أو لمستوى دلالة (α). فعلى سبيل المثال، تأتي القيمة الشهيرة \(z^* = 1.96\) من مستوى ثقة 95% في اختبار ثنائي الذيل. تعكس هذه الحاسبة دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري (CDF)، بحيث تنتقل مباشرةً من مستوى الثقة إلى قيمة z المقابلة له.
كيفية الاستخدام
أدخل مستوى الثقة كنسبة مئوية (مثلًا 95 للدلالة على 95%). ثم اختر نوع الاختبار: ثنائي الذيل (وهو الخيار المعتاد لفترات الثقة واختبارات الفرضيات ثنائية الجانب) أو أحادي الذيل (للاختبار ذي الاتجاه الواحد). تُرجِع الحاسبة قيمة z الحرجة إلى جانب مستوى الدلالة α والاحتمال التراكمي الذي اعتمدت عليه في الحساب.
شرح الصيغة
حوّل أولًا مستوى الثقة إلى مستوى دلالة: \(\alpha = 1 - \text{الثقة}\). في الاختبار ثنائي الذيل، تتوزّع المساحة α بين الذيلين، فيحتوي كل ذيل على \(\alpha/2\). وتكون القيمة الحرجة هي معكوس التوزيع الطبيعي عند \(1 - \alpha/2\)، أي:
$$z^* = \Phi^{-1}\!\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right), \quad \alpha = 1 - \dfrac{\text{Confidence (\%)}}{100}$$أما في الاختبار أحادي الذيل، فتتركّز قيمة α كاملةً في ذيل واحد، فتكون:
$$z = \Phi^{-1}\!\left(1 - \alpha\right), \quad \alpha = 1 - \dfrac{\text{Confidence (\%)}}{100}$$وهنا \(\Phi^{-1}\) هي دالة الكميّة (معكوس الـ CDF) للتوزيع الطبيعي المعياري، وتُحسب باستخدام تقريب كسري عالي الدقة.
مثال تطبيقي
افترض أنك تريد قيمة حرجة عند ثقة 95% في اختبار ثنائي الذيل. عندئذٍ يكون \(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)، و \(\alpha/2 = 0.025\). والاحتمال التراكمي هو \(1 - 0.025 = 0.975\). وبحساب \(\Phi^{-1}(0.975)\) نحصل على \(z^* \approx 1.95996\)، وهي القيمة الكلاسيكية 1.96 المستخدمة في فترات الثقة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تساوي قيمة z عند ثقة 95% نحو 1.96؟ لأن 0.975 من المساحة تقع إلى يسار 1.96 تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري، فتبقى 2.5% في كل ذيل.
ما الفرق بين الاختبار أحادي الذيل وثنائي الذيل؟ يوزّع الاختبار ثنائي الذيل قيمة α بين الذيلين (فتكون \(z^*\) أكبر)، بينما يضع الاختبار أحادي الذيل قيمة α كاملةً في ذيل واحد.
ما قيمة z المقابلة لمستوى ثقة 99%؟ في الاختبار ثنائي الذيل تبلغ نحو 2.5758.
