ما هو معامل ارتباط الرتب لسبيرمان؟
يقيس معامل ارتباط الرتب لسبيرمان (ρ، ويُنطق "رو") قوة واتجاه العلاقة الرتيبة (المنوتونية) بين متغيرين. وعلى عكس معامل ارتباط بيرسون، فإنه يعتمد على رتب البيانات بدلاً من قيمها الخام، لذا فهو لا يفترض أن العلاقة خطية ولا أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي. تتراوح قيمة ρ من −1 (ترتيب عكسي تام) مروراً بالصفر (لا يوجد ارتباط رتيب) وصولاً إلى +1 (توافق تام).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل سلسلتي البيانات في خانتي X وY، مع الفصل بين القيم بفاصلة أو مسافة. يجب أن تحتوي القائمتان على العدد نفسه من القيم (وسيتم تجاهل أي قيم زائدة في القائمة الأطول). اضغط على زر الحساب للحصول على قيمة ρ، وعدد الأزواج (\(n\))، وΣd² — أي مجموع مربعات فروق الرتب.
شرح المعادلة
عندما لا توجد رتب متعادلة، تُحسب قيمة ρ على النحو التالي:
$$\rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^{2}}{n\,(n^{2}-1)} \qquad d_i = R\!\left(\text{X}_i\right) - R\!\left(\text{Y}_i\right)$$
أولاً تُرتَّب قيم كل متغير على حدة (الأصغر = الرتبة 1). ولكل زوج، يمثّل \(d\) الفرق بين رتبته في X ورتبته في Y. ربّع كل قيمة \(d\)، ثم اجمعها، وعوّض في المعادلة. أما عند وجود قيم متعادلة، فإن هذه الصيغة المختصرة تصبح متحيزة، لذا تنتقل الحاسبة تلقائياً إلى معامل ارتباط بيرسون المكافئ المطبَّق على الرتب، مستخدمةً متوسط الرتب للقيم المتعادلة.
مثال محلول
لنأخذ X = 10، 20، 30، 40، 50 وY = 12، 24، 33، 44، 55. تتزايد كلتا السلسلتين معاً، لذا تحمل كل منهما الرتب 1، 2، 3، 4، 5. وبما أن كل \(d = 0\)، فإن Σd² = 0 وتكون \(\rho = 1 - \dfrac{6\times 0}{5\times 24} =\) 1 — أي علاقة رتيبة موجبة تامة.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني قيمة ρ = 0؟ لا يوجد اتجاه رتيب؛ فمع ارتفاع X لا يُظهر Y أي زيادة أو نقصان منتظم.
ما الفرق بينه وبين معامل بيرسون r؟ يقيس بيرسون العلاقة الخطية على القيم الخام، بينما يقيس سبيرمان العلاقة الرتيبة على الرتب، مما يجعله أكثر متانة في مواجهة القيم الشاذة والعلاقات غير الخطية (لكن المرتّبة).
كم عدد نقاط البيانات التي أحتاج إليها؟ يلزم وجود زوجين على الأقل لحساب ρ، لكن كلما زاد عدد الأزواج كان تقدير الارتباط أكثر موثوقية.
