斯皮尔曼等级相关系数计算器

输入计算

X 数值（用逗号或空格隔开）

Y 数值（用逗号或空格隔开）

数学公式

Show calculation steps (1)

1. Spearman rho (Pearson on ranks, with ties)

   

   When ties are present, rho is the Pearson correlation of the average ranks. R(X) and R(Y) are the rank vectors, with bars denoting their means.

结果

斯皮尔曼等级相关系数（ρ）

1

从 −1（完全反向）到 +1（完全一致）

配对数（n）	5
Σd²（排名差的平方和）	0

什么是斯皮尔曼等级相关？

斯皮尔曼等级相关系数（\(\rho\)，读作"rho"）用于衡量两个变量之间单调关系的强弱与方向。它与皮尔逊相关系数不同：斯皮尔曼依据数据的排名（秩）而非原始数值进行计算，因此不要求二者呈线性关系，也不要求数据服从正态分布。\(\rho\) 的取值范围从 \(-1\)（完全反向排列）经过 \(0\)（无单调关联）到 \(+1\)（完全一致）。

斯皮尔曼\(\rho\)衡量单调关系：正相关（\(\rho\)接近+1）、负相关（\(\rho\)接近-1）和无相关（\(\rho\)接近0）。

如何使用本计算器

在 X 和 Y 两个输入框中分别填入两组数据，数值之间用逗号或空格隔开。两组数据的个数必须相同（较长一组中多出的数值会被忽略）。点击计算即可得到 \(\rho\)、配对数 \(n\)，以及 \(\Sigma d^{2}\)——也就是排名差的平方和。

公式详解

当数据没有并列排名时，\(\rho\) 的计算公式为：

$$\rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^{2}}{n\,(n^{2}-1)} \qquad d_i = R\!\left(\text{X}_i\right) - R\!\left(\text{Y}_i\right)$$

首先对每个变量分别排名（最小值为第 1 名）。对于每一对数据，\(d\) 表示其 X 排名与 Y 排名之差。将每个 \(d\) 平方后求和，再代入公式即可。当存在并列排名时，这个简化公式会产生偏差，因此本计算器会自动改用排名的皮尔逊相关系数（等价做法），并对并列数值采用平均排名。

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对每个X和Y值排秩；\(d\)是秩的差值，\(\Sigma d^{2}\)代入公式。

实例演算

设 X = 10, 20, 30, 40, 50，Y = 12, 24, 33, 44, 55。两组数据同步递增，因此各自的排名都是 1、2、3、4、5。每个 \(d\) 均为 0，所以 \(\Sigma d^{2} = 0\)，$$\rho = 1 - \frac{6\times 0}{5\times 24} = \mathbf{1}$$——这是完全正向的单调关系。

常见问题

\(\rho = 0\) 代表什么？ 表示不存在单调趋势；当 X 增大时，Y 没有呈现出一致的增大或减小。

它与皮尔逊相关系数 \(r\) 有何区别？ 皮尔逊衡量原始数值之间的线性关联；斯皮尔曼衡量排名之间的单调关联，因此对异常值更稳健，也能反映非线性但有序的关系。

需要多少个数据点？ 计算 \(\rho\) 至少需要 2 对数据，但配对数越多，得到的关联估计就越可靠。