ما هي رتبة المصفوفة؟
رتبة المصفوفة A هي أكبر عدد من أشعة الأعمدة المستقلة خطيًا التي تحتويها، وهي دائمًا تساوي أكبر عدد من أشعة الصفوف المستقلة خطيًا. ومن الناحية الهندسية تمثّل الرتبة بُعد الفضاء الذي تمتدّ عليه صفوف (أو أعمدة) المصفوفة A. وهذا مفهوم عالمي في الجبر الخطي لا يعتمد على أي منطقة أو اصطلاح محلي. وتجدر الإشارة إلى أن المصطلح نفسه يُسمّى في اليابانية «kaisuu» ويدلّ على رتبة المصفوفة ذاتها.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
حدّد عدد الصفوف (\(m\)) وعدد الأعمدة (\(n\))، ثم اكتب عناصر المصفوفة صفًا تلو الآخر في مربع النص. افصل بين القيم داخل الصف الواحد بفواصل أو مسافات، وافصل بين الصفوف بأسطر جديدة أو بفواصل منقوطة. أما قائمة دقة العرض المنسدلة فهي تتحكم فقط في طريقة إظهار دقة الحساب، ولا تغيّر الرتبة الرياضية للمدخلات الاعتيادية. اضغط على زر الحساب لتعرض الأداة قيمة الرتبة إلى جانب شكل المصفوفة وما إذا كانت ذات رتبة كاملة.
الصيغة والطريقة
تختزل الحاسبة المصفوفة A إلى الصورة الدرَجية للصفوف باستخدام طريقة حذف غاوس مع التمحور الجزئي. تبدأ بالرتبة = 0 ثم تفحص كل عمود؛ وفي كل عمود تختار الصف المرشّح صاحب أكبر قيمة مطلقة (لضمان الاستقرار العددي)، وإذا تجاوزت تلك القيمة حدًّا صغيرًا من التسامح فإنها تستخدم ذلك الصف كمحور، وتحذف العمود من سائر الصفوف، وتزيد الرتبة بمقدار واحد. وإذا كان العمود بأكمله لا يحوي إلا قيمًا قريبة من الصفر فإنه لا يساهم بأي محور. ويمثّل العدد النهائي للمحاور قيمة الرتبة، التي تحقق دائمًا الشرط $$0 \le \text{rank} \le \min(m,\, n).$$
$$\text{rank}(A) = \dim\!\big(\text{span of pivot rows of }\text{Matrix }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$
$$\begin{gathered} \text{rank}(A) = \#\{\text{nonzero pivots in REF}(A)\} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \text{Matrix entries} \;(m \times n) \\ \text{tol} &= 10^{-12}\cdot \max_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert \\ \text{rank}(A) &\le \min(m,\, n) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنأخذ \(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\). الصف الثاني يساوي ضعف الصف الأول، فهذان الصفان غير مستقلين. وبعد الحذف لا يتبقى سوى صفّين محوريّين غير صفريّين، ما يعطي الرتبة = 2. وفي المقابل تعطي مصفوفة الوحدة \(3 \times 3\) ثلاثة محاور ورتبة تساوي 3، بينما تكون رتبة أي مصفوفة جميع عناصرها أصفار مساوية للصفر.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تتجاوز الرتبة عدد الصفوف أو الأعمدة؟ لا. لا يمكن أن تكون الرتبة أكبر من \(\min(m, n)\) أبدًا.
ماذا تعني الرتبة الكاملة؟ تكون المصفوفة ذات رتبة كاملة عندما تساوي رتبتها \(\min(m, n)\). وبالنسبة للمصفوفة المربعة فهذا يعني أنها قابلة للعكس وأن محدّدها لا يساوي صفرًا.
لماذا نستخدم أكبر محور؟ يتجنّب التمحور الجزئي القسمة على أعداد بالغة الصغر، ما يبقي خطأ التقريب في الفاصلة العائمة صغيرًا ويجعل حساب الرتبة موثوقًا.
