मैट्रिक्स का रैंक क्या होता है?
किसी मैट्रिक्स A का रैंक उसमें मौजूद रैखिकतः स्वतंत्र (linearly independent) स्तंभ सदिशों की अधिकतम संख्या होती है, जो हमेशा रैखिकतः स्वतंत्र पंक्ति सदिशों की अधिकतम संख्या के बराबर रहती है। ज्यामितीय दृष्टि से यह उस समष्टि (space) का आयाम है जिसे A की पंक्तियाँ (या स्तंभ) फैलाती हैं। यह रैखिक बीजगणित (linear algebra) की एक सार्वभौमिक अवधारणा है और किसी क्षेत्र या परंपरा पर निर्भर नहीं करती। जापानी भाषा में इसी विचार को मैट्रिक्स रैंक कहा जाता है, जिसे "kaisuu" लिखा जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले पंक्तियों की संख्या \(m\) और स्तंभों की संख्या \(n\) तय करें, फिर टेक्स्ट बॉक्स में मैट्रिक्स के मान एक-एक पंक्ति करके टाइप करें। एक ही पंक्ति के मानों को कॉमा या स्पेस से अलग करें, और अलग-अलग पंक्तियों को नई लाइन या सेमीकोलन से अलग करें। डिस्प्ले-परिशुद्धता वाला ड्रॉपडाउन केवल यह नियंत्रित करता है कि कार्यगत परिशुद्धता कैसे दिखाई जाए; सामान्य इनपुट के लिए यह गणितीय रैंक को नहीं बदलता। "गणना करें" पर क्लिक करें और टूल आपको रैंक के साथ-साथ मैट्रिक्स का आकार और यह भी बताता है कि मैट्रिक्स पूर्ण रैंक (full rank) का है या नहीं।
सूत्र और विधि
यह कैलकुलेटर पार्शियल पिवटिंग वाली गॉसियन एलिमिनेशन का उपयोग करके A को रो-एशलॉन रूप (row-echelon form) में बदलता है। रैंक = 0 से शुरू करके यह हर स्तंभ को स्कैन करता है; प्रत्येक स्तंभ में यह उस उम्मीदवार पंक्ति को चुनता है जिसका निरपेक्ष मान सबसे बड़ा हो (संख्यात्मक स्थिरता के लिए), और यदि वह मान एक छोटी सहनशीलता (tolerance) से अधिक हो तो उस पंक्ति को पिवट बनाता है, उस स्तंभ को बाकी सभी पंक्तियों से हटा देता है, और रैंक में एक बढ़ा देता है। यदि किसी पूरे स्तंभ के सभी उम्मीदवार लगभग शून्य हों तो वह कोई पिवट नहीं देता। पिवटों की अंतिम गिनती ही रैंक होती है, जो सदैव \(0 \le \text{rank} \le \min(m,\, n)\) को संतुष्ट करती है।
$$\text{rank}(A) = \dim\!\big(\text{span of pivot rows of }\text{Matrix }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$ $$\begin{gathered} \text{rank}(A) = \#\{\text{nonzero pivots in REF}(A)\} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \text{Matrix entries} \;(m \times n) \\ \text{tol} &= 10^{-12}\cdot \max_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert \\ \text{rank}(A) &\le \min(m,\, n) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\)। यहाँ पंक्ति 2, पंक्ति 1 की 2 गुना है, इसलिए ये दोनों पंक्तियाँ परस्पर निर्भर हैं। एलिमिनेशन के बाद केवल दो अशून्य पिवट पंक्तियाँ बचती हैं, जिससे रैंक = 2 मिलता है। इसके विपरीत \(3 \times 3\) तत्समक मैट्रिक्स (identity matrix) तीन पिवट और रैंक 3 देता है, और किसी भी पूर्णतः शून्य मैट्रिक्स का रैंक 0 होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या रैंक पंक्तियों या स्तंभों की संख्या से अधिक हो सकता है? नहीं। रैंक कभी भी \(\min(m,\, n)\) से बड़ा नहीं हो सकता।
पूर्ण रैंक (full rank) का क्या अर्थ है? किसी मैट्रिक्स का पूर्ण रैंक तब होता है जब उसका रैंक \(\min(m,\, n)\) के बराबर हो। वर्ग मैट्रिक्स के लिए इसका मतलब है कि वह व्युत्क्रमणीय (invertible) है और उसका सारणिक (determinant) शून्य नहीं है।
सबसे बड़े पिवट का उपयोग क्यों किया जाता है? पार्शियल पिवटिंग बहुत छोटी संख्याओं से भाग देने से बचाती है, जिससे फ़्लोटिंग-पॉइंट राउंड-ऑफ त्रुटि कम रहती है और रैंक की गिनती विश्वसनीय बनी रहती है।
