Matris rankı nedir?
Bir A matrisinin rankı, içerdiği doğrusal bağımsız sütun vektörlerinin en büyük sayısıdır; bu değer her zaman doğrusal bağımsız satır vektörlerinin en büyük sayısına eşittir. Geometrik olarak ise A matrisinin satırlarının (ya da sütunlarının) gerdiği uzayın boyutunu ifade eder. Bu, lineer cebirin evrensel bir kavramı olup herhangi bir ülkeye ya da geleneğe bağlı değildir. Örneğin Japonca'da aynı kavram matris rankı anlamına gelen "kaisuu" sözcüğüyle ifade edilir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Önce satır sayısını (\(m\)) ve sütun sayısını (\(n\)) belirleyin, ardından metin kutusuna matris elemanlarını satır satır yazın. Bir satırdaki değerleri virgül ya da boşlukla, satırları ise yeni satır veya noktalı virgülle ayırın. Gösterim hassasiyeti açılır menüsü yalnızca çalışma hassasiyetinin nasıl görüntüleneceğini kontrol eder; sıradan girdilerde matematiksel rankı değiştirmez. Hesapla düğmesine tıkladığınızda araç; rankı, matrisin boyutunu ve matrisin tam ranklı olup olmadığını bildirir.
Formül ve yöntem
Hesaplama aracı, kısmi pivotlamalı Gauss eliminasyonu kullanarak A matrisini satır basamak biçimine indirger. rank = 0 ile başlar ve her sütunu tarar; her sütunda mutlak değeri en büyük olan aday satırı seçer (sayısal kararlılık için) ve bu değer küçük bir tolerans eşiğini aşıyorsa o satırı pivot olarak kullanır, ilgili sütunu diğer tüm satırlardan eler ve rankı bir artırır. Eğer bir sütunun tamamı sıfıra çok yakın adaylardan oluşuyorsa, o sütun pivot katkısı yapmaz. Sonuçta elde edilen pivot sayısı rank değeridir ve bu değer her zaman \(0 \le \text{rank} \le \min(m,\, n)\) koşulunu sağlar.
$$\text{rank}(A) = \dim\!\big(\text{span of pivot rows of }\text{Matrix }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$
$$\begin{gathered} \text{rank}(A) = \#\{\text{nonzero pivots in REF}(A)\} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \text{Matrix entries} \;(m \times n) \\ \text{tol} &= 10^{-12}\cdot \max_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert \\ \text{rank}(A) &\le \min(m,\, n) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Çözümlü örnek
\(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\) matrisini ele alalım. 2. satır, 1. satırın 2 katına eşittir; dolayısıyla bu iki satır birbirine bağımlıdır. Eliminasyon sonrasında yalnızca iki sıfırdan farklı pivot satırı kalır ve bu da rank = 2 verir. Buna karşılık 3 x 3 birim matris üç pivot üretir ve rankı 3'tür; tamamı sıfırdan oluşan herhangi bir matrisin rankı ise 0'dır.
Sıkça Sorulan Sorular
Rank, satır ya da sütun sayısından büyük olabilir mi? Hayır. Rank hiçbir zaman \(\min(m,\, n)\) değerinden büyük olamaz.
Tam rank ne anlama gelir? Bir matrisin rankı \(\min(m,\, n)\) değerine eşit olduğunda matris tam ranklıdır. Kare bir matris için bu, matrisin tersinin alınabildiği ve determinantının sıfırdan farklı olduğu anlamına gelir.
Neden en büyük pivot seçilir? Kısmi pivotlama, çok küçük sayılara bölme işlemini önler; böylece kayan nokta yuvarlama hataları küçük kalır ve rank sayımı güvenilir olur.
