什麼是矩陣的秩？
矩陣 \(A\) 的秩（rank）是指它所包含的最大線性獨立行向量數目，而這個數值恆等於最大線性獨立列向量的數目。從幾何角度來看，它就是由 \(A\) 的各列（或各行）所張成空間的維度。秩是線性代數中的通用概念，不會因國家或習慣不同而改變。順帶一提，在日文中這個概念稱為「階數（kaisuu）」，意義完全相同。
如何使用本計算器
先設定列數（\(m\)）與行數（\(n\)），接著在文字框中逐列輸入矩陣元素。同一列的數值之間以逗號或空格分隔，不同列之間則以換行或分號分隔。「顯示精度」下拉選單只會影響運算過程中數值的顯示位數，對一般輸入而言並不會改變數學上的秩。按下計算後，工具會回報矩陣的秩、矩陣的形狀，以及該矩陣是否為滿秩。
公式與計算方法
本計算器採用部分主元（partial pivoting）的高斯消去法，將 \(A\) 化為列梯形矩陣。一開始將 rank 設為 0，接著逐行掃描：在每一行中，挑選絕對值最大的候選列作為主元（以維持數值穩定性）；若該數值超過一個微小的容忍值，便以該列為主元，從其餘各列中消去該行，並將秩加一。如果整行的候選值都趨近於零，這一行便不貢獻任何主元。最後累計的主元數量就是秩，而秩永遠滿足 \(0 \le \text{rank} \le \min(m,\, n)\)。
$$\text{rank}(A) = \dim\!\big(\text{span of pivot rows of }\text{Matrix }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$$$\begin{gathered} \text{rank}(A) = \#\{\text{nonzero pivots in REF}(A)\} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \text{Matrix entries} \;(m \times n) \\ \text{tol} &= 10^{-12}\cdot \max_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert \\ \text{rank}(A) &\le \min(m,\, n) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
範例演算
以 \(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\) 為例。第 2 列恰好是第 1 列的 2 倍，因此這兩列彼此線性相依。消去之後僅剩兩列非零的主元列，得到 \(\text{rank} = 2\)。相對地，\(3\times 3\) 的單位矩陣會產生三個主元，秩為 3；而任何全零矩陣的秩都是 0。
常見問題
秩有可能超過列數或行數嗎？不會。秩永遠不會大於 \(\min(m,\, n)\)。
滿秩（full rank）是什麼意思？當矩陣的秩等於 \(\min(m,\, n)\) 時，即稱為滿秩。對方陣而言，這代表它可逆，且行列式不為零。
為什麼要選最大的主元？部分主元法可避免被極小的數值相除，藉此把浮點運算的捨入誤差壓到最低，使秩的計算更為可靠。
