Hạng của ma trận là gì?
Hạng của ma trận A là số lượng vectơ cột độc lập tuyến tính nhiều nhất mà ma trận chứa, và con số này luôn bằng số vectơ hàng độc lập tuyến tính nhiều nhất. Xét về mặt hình học, đó chính là số chiều của không gian sinh bởi các hàng (hoặc các cột) của A. Đây là một khái niệm phổ quát trong đại số tuyến tính, không phụ thuộc vào bất kỳ vùng lãnh thổ hay quy ước nào. Trong tiếng Nhật, khái niệm tương đương được gọi là "kaisuu" (階数), nghĩa là hạng của ma trận.
Cách sử dụng máy tính
Bạn hãy thiết lập số hàng (m) và số cột (n), sau đó nhập các phần tử của ma trận theo từng hàng vào ô văn bản. Trong cùng một hàng, các giá trị được ngăn cách bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng; còn các hàng khác nhau thì cách nhau bằng dấu xuống dòng hoặc dấu chấm phẩy. Tùy chọn độ chính xác hiển thị chỉ quyết định cách trình bày số liệu trong quá trình tính; nó không làm thay đổi giá trị hạng đối với các dữ liệu nhập thông thường. Nhấn nút tính toán và công cụ sẽ trả về hạng của ma trận, kèm theo kích thước ma trận và cho biết ma trận có hạng đầy đủ hay không.
Công thức và phương pháp
Máy tính đưa ma trận A về dạng bậc thang theo hàng bằng phương pháp khử Gauss có chọn phần tử trục từng phần (partial pivoting). Bắt đầu với hạng = 0, công cụ quét lần lượt từng cột; ở mỗi cột, nó chọn hàng ứng viên có giá trị tuyệt đối lớn nhất (để đảm bảo ổn định số học), và nếu giá trị đó vượt quá một ngưỡng nhỏ thì hàng này được dùng làm phần tử trục, khử cột đó khỏi tất cả các hàng còn lại, đồng thời tăng hạng lên một đơn vị. Nếu cả một cột chỉ toàn các ứng viên gần bằng 0 thì cột đó không đóng góp phần tử trục nào. Tổng số phần tử trục cuối cùng chính là hạng, và luôn thỏa mãn $$\text{rank}(A) = \dim\!\big(\text{span of pivot rows of }\text{Matrix }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$
Ví dụ minh họa
Xét \(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\). Hàng 2 bằng 2 lần hàng 1, nên hai hàng này phụ thuộc tuyến tính. Sau khi khử, chỉ còn lại hai hàng có phần tử trục khác 0, cho kết quả hạng = 2. Ngược lại, ma trận đơn vị 3 x 3 cho ra ba phần tử trục và có hạng 3, còn mọi ma trận toàn số 0 đều có hạng 0.
Câu hỏi thường gặp
Hạng có thể lớn hơn số hàng hoặc số cột không? Không. Hạng không bao giờ vượt quá \(\min(m, n)\).
Hạng đầy đủ nghĩa là gì? Một ma trận có hạng đầy đủ khi hạng của nó bằng \(\min(m, n)\). Đối với ma trận vuông, điều này đồng nghĩa ma trận khả nghịch và có định thức khác 0.
Tại sao phải chọn phần tử trục lớn nhất? Việc chọn phần tử trục từng phần giúp tránh chia cho những số quá nhỏ, nhờ đó hạn chế sai số làm tròn của số dấu phẩy động và làm cho kết quả tính hạng đáng tin cậy hơn.
