¿Qué es el rango de una matriz?
El rango de una matriz A es el número máximo de vectores columna linealmente independientes que contiene, que siempre coincide con el número máximo de vectores fila linealmente independientes. Desde un punto de vista geométrico, es la dimensión del espacio generado por las filas (o las columnas) de A. Se trata de un concepto universal del álgebra lineal que no depende de ninguna región ni convención. En japonés esta misma idea se denomina rango de la matriz y se escribe «kaisuu».
Cómo usar esta calculadora
Indica el número de filas (m) y de columnas (n) y, a continuación, escribe los elementos de la matriz fila por fila en el cuadro de texto. Separa los valores de una misma fila con comas o espacios, y separa las filas con saltos de línea o con puntos y comas. El menú desplegable de precisión de visualización solo controla cómo se muestra la precisión de cálculo; no altera el rango matemático para entradas habituales. Pulsa «Calcular» y la herramienta te mostrará el rango junto con las dimensiones de la matriz y si esta tiene rango completo.
La fórmula y el método
La calculadora reduce A a su forma escalonada por filas mediante eliminación de Gauss con pivoteo parcial. Partiendo de rango = 0, recorre cada columna; en cada una elige la fila candidata con el mayor valor absoluto (para garantizar la estabilidad numérica) y, si ese valor supera una pequeña tolerancia, la usa como pivote, elimina la columna del resto de filas e incrementa el rango en uno. Si toda una columna solo contiene candidatos cercanos a cero, no aporta ningún pivote. El recuento final de pivotes es el rango, que siempre cumple
$$\text{rank}(A) = \dim\!\big(\text{span of pivot rows of }\text{Matrix }A\big) \le \min\!\left(m,\; n\right)$$es decir, \(0 \le \text{rango} \le \min(m,\, n)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]\). La fila 2 es igual a 2 veces la fila 1, así que esas dos filas son dependientes. Tras la eliminación solo quedan dos filas pivote no nulas, lo que da rango = 2. En cambio, la matriz identidad 3 × 3 produce tres pivotes y rango 3, mientras que cualquier matriz nula tiene rango 0.
Preguntas frecuentes
¿Puede el rango superar el número de filas o de columnas? No. El rango nunca puede ser mayor que \(\min(m,\, n)\).
¿Qué significa tener rango completo? Una matriz tiene rango completo cuando su rango es igual a \(\min(m,\, n)\). En una matriz cuadrada esto implica que es invertible y que su determinante es distinto de cero.
¿Por qué se elige el pivote más grande? El pivoteo parcial evita dividir entre números muy pequeños, lo que mantiene reducido el error de redondeo en coma flotante y hace que el recuento del rango sea fiable.
