¿Qué es la forma trigonométrica?
Cualquier número complejo \(z = a + bi\) puede expresarse en forma trigonométrica (o polar) como \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\). En esta expresión, \(r\) es el módulo (su distancia al origen) y \(\theta\) es el argumento (el ángulo medido desde el eje real positivo). Esta calculadora transforma cualquier número complejo en forma binómica \(a + bi\) a su forma trigonométrica y muestra \(\theta\) tanto en grados como en radianes.
Cómo usarla
Introduce la parte real \(a\) y la parte imaginaria \(b\) de tu número complejo y obtendrás directamente el módulo \(r\) y el argumento \(\theta\). La calculadora emplea la función atan2, de modo que el ángulo queda situado en el cuadrante correcto de forma automática: no tendrás que ajustar signos a mano.
La fórmula explicada
El módulo se obtiene mediante el teorema de Pitágoras: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). El argumento es \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), que devuelve el ángulo del vector \((a, b)\). Si multiplicas \(r\cdot\cos\theta\) recuperas \(a\) y con \(r\cdot\sin\theta\) recuperas \(b\), lo que confirma que esta forma es equivalente al número original.
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$$$$\text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(z = 3 + 4i\). El módulo es $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$ El argumento es $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radianes} \approx 53{,}13°.$$ Por tanto, \(z = 5(\cos 53{,}13° + i\sin 53{,}13°)\).
Preguntas frecuentes
¿Es correcto en grados o en radianes? Ambos describen el mismo ángulo; usa el que necesite tu problema. Los radianes son la unidad habitual en cálculo y en la fórmula de Euler.
¿Qué ocurre si a y b son cero? Entonces \(z = 0\), el módulo vale \(0\) y el argumento queda indefinido (por convención se toma como 0).
¿Cómo se relaciona con la forma exponencial? Según la fórmula de Euler, \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\), de modo que los mismos valores de \(r\) y \(\theta\) te dan directamente la forma exponencial.
