¿Qué es una calculadora de números complejos?
Un número complejo tiene la forma a + bi, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria e i es la unidad imaginaria, definida por \(i^{2} = -1\). Esta calculadora ejecuta las cuatro operaciones aritméticas básicas —suma, resta, multiplicación y división— con dos números complejos y devuelve la respuesta en la forma estándar a + bi, junto con su módulo.
Cómo usarla
Introduce las partes real e imaginaria del primer número (a y b), elige una operación y, a continuación, escribe las partes real e imaginaria del segundo número (c y d). La calculadora muestra al instante el número complejo resultante y su módulo \(|z| = \sqrt{\text{real}^{2} + \text{imaginaria}^{2}}\).
Las fórmulas explicadas
Suma/Resta: se combinan las partes semejantes — \((a \pm c) + (b \pm d)\,i\).
$$(\text{a} + \text{b}\,i) + (\text{c} + \text{d}\,i) = (\text{a} + \text{c}) + (\text{b} + \text{d})\,i$$$$(\text{a} + \text{b}\,i) - (\text{c} + \text{d}\,i) = (\text{a} - \text{c}) + (\text{b} - \text{d})\,i$$Multiplicación: se desarrolla el producto y se aplica \(i^{2} = -1\) para obtener \((ac - bd) + (ad + bc)\,i\).
$$(\text{a} + \text{b}\,i)(\text{c} + \text{d}\,i) = (\text{a}\,\text{c} - \text{b}\,\text{d}) + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\,i$$División: se multiplican numerador y denominador por el conjugado \((c - di)\) del denominador, lo que da \(((ac + bd) + (bc - ad)\,i) / (c^{2} + d^{2})\).
$$\frac{\text{a} + \text{b}\,i}{\text{c} + \text{d}\,i} = \frac{\text{a}\,\text{c} + \text{b}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}} + \frac{\text{b}\,\text{c} - \text{a}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}}\,i$$
Ejemplo resuelto
Multipliquemos \((3 + 2i)\) por \((1 + 4i)\). Parte real \(= (3 \cdot 1 - 2 \cdot 4) = 3 - 8 = -5\). Parte imaginaria \(= (3 \cdot 4 + 2 \cdot 1) = 12 + 2 = 14\). Por tanto, el resultado es −5 + 14i, con módulo \(\sqrt{(-5)^{2} + 14^{2}} = \sqrt{221} \approx 14{,}866\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa el módulo? Es la distancia del punto a+bi al origen en el plano complejo, calculada como \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\).
¿Qué pasa si divido entre 0+0i? La división entre cero no está definida; la calculadora devuelve 0+0i como medida de seguridad, así que evita un denominador igual a cero.
¿Puedo introducir valores negativos o decimales? Sí. Los cuatro campos admiten cualquier número real, ya sea positivo, negativo o fraccionario.
