Qu'est-ce qu'une calculatrice de nombres complexes ?
Un nombre complexe s'écrit sous la forme a + bi, où a désigne la partie réelle, b la partie imaginaire et i l'unité imaginaire telle que \(i^2 = -1\). Cet outil réalise les quatre opérations fondamentales — addition, soustraction, multiplication et division — sur deux nombres complexes, puis renvoie le résultat sous la forme standard a + bi, accompagné de son module.
Mode d'emploi
Saisissez la partie réelle et la partie imaginaire de votre premier nombre (a et b), choisissez une opération, puis indiquez la partie réelle et la partie imaginaire du second nombre (c et d). La calculatrice affiche immédiatement le nombre complexe obtenu ainsi que son module \(|z| = \sqrt{\text{réel}^2 + \text{imaginaire}^2}\).
Les formules expliquées
Addition / soustraction : on regroupe les parties de même nature —
$$(\text{a} + \text{b}\,i) + (\text{c} + \text{d}\,i) = (\text{a} + \text{c}) + (\text{b} + \text{d})\,i$$$$(\text{a} + \text{b}\,i) - (\text{c} + \text{d}\,i) = (\text{a} - \text{c}) + (\text{b} - \text{d})\,i$$
Multiplication : on développe le produit et l'on utilise \(i^2 = -1\) pour obtenir
$$(\text{a} + \text{b}\,i)(\text{c} + \text{d}\,i) = (\text{a}\,\text{c} - \text{b}\,\text{d}) + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\,i$$Division : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué (c−di) du dénominateur, ce qui donne
$$\frac{\text{a} + \text{b}\,i}{\text{c} + \text{d}\,i} = \frac{\text{a}\,\text{c} + \text{b}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}} + \frac{\text{b}\,\text{c} - \text{a}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}}\,i$$
Exemple détaillé
Multiplions (3 + 2i) par (1 + 4i). Partie réelle = \((3\cdot 1 - 2\cdot 4) = 3 - 8 = -5\). Partie imaginaire = \((3\cdot 4 + 2\cdot 1) = 12 + 2 = 14\). Le résultat est donc −5 + 14i, avec un module $$\sqrt{(-5)^2 + 14^2} = \sqrt{221} \approx 14{,}866$$
Foire aux questions
Que représente le module ? C'est la distance qui sépare le point a+bi de l'origine dans le plan complexe, calculée par \(\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2}\).
Que se passe-t-il si je divise par 0+0i ? La division par zéro n'est pas définie ; par sécurité, la calculatrice renvoie 0+0i. Évitez donc un dénominateur nul.
Puis-je saisir des valeurs négatives ou décimales ? Oui. Les quatre champs acceptent n'importe quel nombre réel, qu'il soit positif, négatif ou décimal.
