Qu'est-ce que le calculateur de puissance d'un nombre complexe ?
Cet outil élève un nombre complexe écrit sous forme cartésienne, \(z = a + bi\), à une puissance \(n\) quelconque. Plutôt que de multiplier le nombre par lui-même de façon répétée, il convertit \(z\) sous forme polaire et applique le théorème de Moivre, ce qui rend le calcul des puissances entières — et même non entières — rapide et précis. Le résultat vous est restitué sous la forme habituelle \(a + bi\), accompagné de son module et de son argument.
Comment l'utiliser
Saisissez la partie réelle \(a\), la partie imaginaire \(b\) et l'exposant \(n\). Cliquez sur « Calculer » pour afficher le résultat cartésien, le nouveau module, le nouvel argument en degrés ainsi que les paramètres polaires du nombre de départ. L'exposant peut être positif, négatif ou fractionnaire.
La formule expliquée
Le nombre est d'abord converti sous forme polaire : le module vaut \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) et l'argument \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Le théorème de Moivre affirme alors que $$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right).$$ En développant, on obtient la partie réelle \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) et la partie imaginaire \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\). Le recours à \(\operatorname{atan2}\) garantit que l'angle se situe dans le bon quadrant.
Exemple détaillé
Prenons \(z = 1 + i\) et \(n = 2\). Le module est $$r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ et l'argument \(\theta = 45°\). On a alors \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\) et \(n\theta = 90°\). Ainsi $$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i.$$ On peut le vérifier directement : $$(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i.$$
Questions fréquentes
\(n\) peut-il être négatif ? Oui. Une puissance négative revient à élever l'inverse du nombre à la puissance positive correspondante, ce qui est entièrement pris en charge tant que \(z\) n'est pas nul.
\(n\) peut-il être une fraction ? Oui — les exposants fractionnaires renvoient la racine principale (une seule branche). Les autres racines s'obtiennent en ajoutant des multiples de \(2\pi/n\) à l'angle.
Pourquoi utiliser \(\operatorname{atan2}\) plutôt que \(\arctan\) ? \(\operatorname{atan2}\) tient compte des signes de \(a\) et de \(b\) à la fois, si bien que l'argument tombe dans le bon quadrant au lieu d'être décalé de 180°.
