Qu'est-ce que la forme trigonométrique ?
Tout nombre complexe \(z = a + bi\) peut s'écrire sous forme trigonométrique (ou polaire) \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Ici, \(r\) désigne le module (sa distance à l'origine) et \(\theta\) l'argument (l'angle mesuré à partir de l'axe des réels positifs). Ce convertisseur transforme n'importe quel nombre complexe écrit sous forme algébrique \(a + bi\) en sa forme trigonométrique et affiche \(\theta\) aussi bien en degrés qu'en radians.
Comment l'utiliser
Saisissez la partie réelle \(a\) et la partie imaginaire \(b\) de votre nombre complexe, puis lisez directement le module \(r\) et l'argument \(\theta\). Le calculateur s'appuie sur la fonction atan2, ce qui place automatiquement l'angle dans le bon quadrant — aucun ajustement de signe à faire à la main.
La formule expliquée
Le module découle du théorème de Pythagore : \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). L'argument vaut \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), qui renvoie l'angle du vecteur \((a, b)\). En développant, \(r\cdot\cos\theta\) redonne \(a\) et \(r\cdot\sin\theta\) redonne \(b\), ce qui confirme que cette forme est bien équivalente au nombre de départ.
$$\begin{gathered} z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple détaillé
Prenons \(z = 3 + 4i\). Le module est
$$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$L'argument est
$$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radian} \approx 53{,}13°.$$On obtient donc \(z = 5(\cos 53{,}13° + i\sin 53{,}13°)\).
FAQ
Faut-il utiliser les degrés ou les radians ? Les deux décrivent le même angle ; choisissez celui qu'exige votre problème. Les radians sont la référence en analyse et dans la formule d'Euler.
Et si \(a\) et \(b\) sont tous les deux nuls ? Alors \(z = 0\), le module vaut \(0\) et l'argument n'est pas défini (on le fixe conventionnellement à \(0\)).
Quel est le lien avec la forme exponentielle ? D'après la formule d'Euler, \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\) : les mêmes \(r\) et \(\theta\) donnent donc directement la forme exponentielle.
