Dạng lượng giác là gì?
Mọi số phức \(z = a + bi\) đều có thể viết dưới dạng lượng giác (dạng cực) \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Trong đó, \(r\) là môđun (khoảng cách từ điểm biểu diễn đến gốc tọa độ) và \(\theta\) là acgumen (góc đo từ chiều dương của trục thực). Công cụ này chuyển bất kỳ số phức ở dạng đại số \(a + bi\) nào sang dạng lượng giác và cho kết quả \(\theta\) theo cả độ lẫn radian.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập phần thực \(a\) và phần ảo \(b\) của số phức, rồi đọc ngay kết quả môđun \(r\) và acgumen \(\theta\). Máy tính dùng hàm \(\operatorname{atan2}\) nên góc luôn được xác định đúng góc phần tư một cách tự động — bạn không phải tự điều chỉnh dấu hay quy đổi gì thêm.
Giải thích công thức
Môđun được suy ra từ định lý Pythagoras: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). Acgumen được tính bằng \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), trả về góc của vectơ \((a, b)\). Khi nhân ngược lại, \(r\cdot\cos\theta\) sẽ cho ra \(a\) và \(r\cdot\sin\theta\) cho ra \(b\), qua đó khẳng định dạng lượng giác hoàn toàn tương đương với số ban đầu.
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
Ví dụ minh họa
Xét \(z = 3 + 4i\). Môđun là $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.$$ Acgumen là $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radian} \approx 53{,}13°.$$ Vậy \(z = 5(\cos 53{,}13° + i\sin 53{,}13°)\).
Câu hỏi thường gặp
Nên dùng độ hay radian? Cả hai đều mô tả cùng một góc; bạn dùng đơn vị nào tùy theo yêu cầu của bài toán. Radian là đơn vị chuẩn trong giải tích và công thức Euler.
Nếu cả \(a\) và \(b\) đều bằng 0 thì sao? Khi đó \(z = 0\), môđun bằng 0 và acgumen không xác định (theo quy ước thường lấy bằng 0).
Dạng lượng giác liên hệ thế nào với dạng mũ? Theo công thức Euler, \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\), nên cùng giá trị \(r\) và \(\theta\) đó sẽ cho ngay dạng mũ của số phức.
