Что такое тригонометрическая форма
Любое комплексное число \(z = a + bi\) можно записать в тригонометрической (полярной) форме \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Здесь \(r\) — это модуль (расстояние от начала координат), а \(\theta\) — аргумент (угол, отсчитываемый от положительного направления действительной оси). Калькулятор переводит любое число из алгебраической формы \(a + bi\) в тригонометрическую и показывает аргумент \(\theta\) сразу в градусах и радианах.
Как пользоваться
Введите действительную часть \(a\) и мнимую часть \(b\) комплексного числа — и сразу увидите модуль \(r\) и аргумент \(\theta\). Расчёт ведётся через функцию atan2, поэтому угол автоматически попадает в нужную четверть, и вам не нужно вручную следить за знаками.
Разбор формулы
Модуль вычисляется по теореме Пифагора: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). Аргумент равен \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) — это угол вектора \((a, b)\). Если раскрыть произведение, то \(r\cdot\cos\theta\) возвращает \(a\), а \(r\cdot\sin\theta\) возвращает \(b\), что подтверждает: тригонометрическая форма равносильна исходному числу.
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
Пример с решением
Возьмём \(z = 3 + 4i\). Модуль: $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ Аргумент: $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ радиана} \approx 53{,}13°.$$ Значит, \(z = 5(\cos 53{,}13° + i\sin 53{,}13°)\).
Частые вопросы
В чём правильно указывать угол — в градусах или радианах? Оба варианта описывают один и тот же угол, выбирайте тот, что нужен в вашей задаче. В математическом анализе и в формуле Эйлера традиционно используют радианы.
Что будет, если \(a\) и \(b\) равны нулю? Тогда \(z = 0\), модуль равен 0, а аргумент не определён (обычно его принимают равным 0).
Как это связано с показательной формой? По формуле Эйлера \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\), поэтому те же \(r\) и \(\theta\) сразу дают и показательную форму.
