三角形式とは？
すべての複素数 \(z = a + bi\) は、三角形式（極形式）\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) で表せます。ここで \(r\) は絶対値（モジュラス）で、原点からの距離を表します。\(\theta\) は偏角（アーギュメント）で、正の実軸から測った角度です。この計算ツールは、直交座標で表された複素数 \(a + bi\) を三角形式に変換し、\(\theta\) を度数とラジアンの両方で表示します。
使い方
複素数の実部 \(a\) と虚部 \(b\) を入力するだけで、絶対値 \(r\) と偏角 \(\theta\) がすぐに求まります。本ツールは atan2 関数を用いているため、角度は自動的に正しい象限に配置されます。符号を手動で調整する必要はありません。
計算式の解説
絶対値はピタゴラスの定理から求められ、\(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) となります。偏角は \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) で、これはベクトル \((a, b)\) の角度を返します。\(r\cdot\cos\theta\) を展開すると \(a\) に、\(r\cdot\sin\theta\) を展開すると \(b\) に戻るため、この形式が元の複素数と等しいことが確認できます。
$$z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\ \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
計算例
\(z = 3 + 4i\) を考えてみましょう。絶対値は
$$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$です。偏角は
$$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ ラジアン} \approx 53.13°$$となります。したがって \(z = 5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)\) です。
よくある質問
度数とラジアン、どちらが正しいの？ どちらも同じ角度を表します。問題に応じて使いやすい方を選んでください。微積分やオイラーの公式ではラジアンが標準です。
a と b がどちらも 0 の場合は？ そのとき \(z = 0\) となり、絶対値は 0、偏角は定義されません（慣例的に 0 とすることが多いです）。
指数形式とはどう関係するの？ オイラーの公式により \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cdot e^{i\theta}\) が成り立ちます。つまり、同じ \(r\) と \(\theta\) からそのまま指数形式が得られます。
