極形式変換ツールとは？
このツールは、直交座標形式（デカルト形式）で表された複素数 a + bi を極形式に変換します。極形式とは、同じ数を「原点からの距離（絶対値 \(r\)）」と「正の実軸となす角度（偏角 \(\theta\)）」で表す方法です。\(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\) と書き、簡潔には \(r\angle\theta\) と表記します。
使い方
複素数の実部 a と虚部 b を入力すると、絶対値と偏角がすぐに表示されます。偏角はラジアンと度の両方で表示されるので、問題に合わせて好きな単位を使えます。
計算式の解説
絶対値は三平方の定理からそのまま導けます。\(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) は、辺の長さが \(a\) と \(b\) の直角三角形の斜辺に相当します。偏角には2引数の逆正接 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) を用います。これは \(a\) と \(b\) 両方の符号を考慮し、\((-\pi, \pi]\) の全範囲で正しい角度を返します。これにより、単純な \(\arctan(b/a)\) で生じる象限の曖昧さを回避できます。
$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Re}^{2} + \text{Im}^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Im},\, \text{Re}\right) \end{aligned}$$
計算例
複素数 3 + 4i で考えてみましょう。絶対値は $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$ です。偏角は $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ ラジアン} \approx 53.13°$$ となります。したがって \(3 + 4i = 5(\cos 53.13° + i\cdot\sin 53.13°)\) です。
よくある質問
なぜ arctan ではなく atan2 を使うの？ 単純な arctan は符号の情報が失われ、点がどの象限にあるかを判別できません。\(\operatorname{atan2}(b, a)\) は両方の入力値を使い、正しい角度を返します。
偏角の範囲は？ ラジアンの偏角は \((-\pi, \pi]\)、度に換算すると \((-180°, 180°]\) の範囲になります。正の角度で表したい場合は、360°（または \(2\pi\)）を加えてください。
a と b がどちらも 0 のときは？ 絶対値は 0 になり、偏角は定義されません（慣例的に 0 を返します）。
