Kutupsal Form Hesaplama

Hesaplamaya Girin

Reel kısım (a)

Sanal kısım (b)

Sonuç

Kutupsal Form

5 (cosθ + i·sinθ)

θ = 53,1301°

Genlik (r)	5
Açı (radyan)	0,927295
Açı (derece)	53,130102°
Dikdörtgen form	3 + 4i

Kutupsal Form Hesaplama Aracı Nedir?

Bu araç, dikdörtgen (Kartezyen) biçimde yazılmış bir karmaşık sayıyı, yani a + bi ifadesini kutupsal forma dönüştürür. Kutupsal form, aynı sayıyı orijine olan uzaklığı (genlik r) ve pozitif reel eksenle yaptığı açı (argüman θ) ile ifade eder. Açık hâli r(cos θ + i·sin θ), kısa yazımı ise r∠θ şeklindedir.

Nasıl Kullanılır?

Karmaşık sayınızın reel kısmı a ile sanal kısmı b değerlerini girin; ardından genliği ve açıyı doğrudan okuyun. Açı hem radyan hem derece cinsinden gösterilir; böylece probleminizin gerektirdiği birimi rahatça kullanabilirsiniz.

Formülün Açıklaması

Genlik doğrudan Pisagor teoreminden gelir: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\); yani dik kenarları a ve b olan dik üçgenin hipotenüsüdür. Açı için iki argümanlı ark tanjant kullanılır: \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Bu fonksiyon, hem a hem b değerinin işaretini dikkate alarak açıyı (−π, π] aralığında doğru biçimde verir ve düz \(\arctan(b/a)\) ifadesinde yaşanan bölge (kadran) belirsizliğini ortadan kaldırır.

$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Re}^{2} + \text{Im}^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Im},\, \text{Re}\right) \end{aligned}$$

Karmaşık düzlemde büyüklüğü r ve açısı θ olan bir nokta olarak gösterilen a + bi karmaşık sayısı.

Çözümlü Örnek

3 + 4i karmaşık sayısını ele alalım. Genlik \(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\) olur. Açı ise $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ radyan} \approx 53.13°$$ şeklindedir. Buradan \(3 + 4i = 5(\cos 53.13° + i\cdot\sin 53.13°)\) elde edilir.

Büyüklük r, dik kenarları a ve b olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür.

Sıkça Sorulan Sorular

Neden arctan yerine atan2 kullanılır? Düz arctan işaret bilgisini kaybeder ve noktanın hangi bölgede (kadranda) olduğunu ayırt edemez. \(\operatorname{atan2}(b, a)\) ise her iki değeri de kullanarak gerçek açıyı verir.

Açı hangi aralıkta olur? Radyan cinsinden açı (−π, π] aralığında, yani eşdeğer olarak (−180°, 180°] aralığında yer alır. İsterseniz 360° (veya 2π) ekleyerek açıyı pozitif değer olarak ifade edebilirsiniz.

a ve b'nin ikisi de sıfırsa ne olur? Genlik 0'dır ve açı tanımsızdır (genel kabul gereği 0 olarak döndürülür).