Kutupsal form nedir?
Her karmaşık sayı iki farklı biçimde yazılabilir. Dikdörtgen (ya da Kartezyen) form a + bi şeklindedir; burada a reel kısmı, b ise sanal kısmı temsil eder. Kutupsal form ise aynı sayıyı, orijine olan uzaklığı ve yönü ile ifade eder: \( r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta) \). Bu gösterim çoğu zaman \( r\angle\theta \) biçiminde kısaltılır ya da karmaşık üstel form olarak \( r\cdot e^{i\theta} \) şeklinde yazılır. Bu hesaplayıcı, dikdörtgen formdaki herhangi bir karmaşık sayıyı kutupsal forma çevirir; size r büyüklüğünü ve θ açısını hem derece hem de radyan cinsinden verir.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Karmaşık sayınızın reel kısmı a ile sanal kısmı b değerlerini girin ve sonuçları doğrudan görün. Büyüklük, noktanın orijinden ne kadar uzakta olduğunu söyler; açı ise pozitif reel eksene göre yönünü gösterir. Her iki form da karmaşık düzlemdeki tam olarak aynı noktayı tanımlar.
Formülün açıklaması
Büyüklük, Pisagor teoremi ile bulunur: $$ r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $$ Açı ise iki argümanlı arktanjant kullanılarak hesaplanır: $$ \theta = \operatorname{atan2}(b,\, a) $$ Bu fonksiyon, açının bulunduğu doğru bölgeyi (çeyreği) otomatik olarak belirler; oysa düz \( \arctan(b/a) \) işaret bilgisini kaybettiği için bunu yapamaz. Sonuç \( (-180^\circ, 180^\circ] \) aralığında verilir. Radyanı dereceye çevirmek için \( 180/\pi \) ile çarpmanız yeterlidir.
Çözümlü örnek
3 + 4i karmaşık sayısını ele alalım. Büyüklük $$ r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ olur. Açı ise $$ \theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radyan} \approx 53{,}13^\circ $$ olarak bulunur. Buna göre \( 3 + 4i = 5(\cos 53{,}13^\circ + i\cdot\sin 53{,}13^\circ) \) yazılabilir.
Sıkça sorulan sorular
Neden arctan yerine atan2 kullanılıyor? Çünkü atan2 hem a hem de b değerinin işaretini dikkate alır ve açıyı doğru çeyreğe yerleştirir. Örneğin −1 − i sayısı düz arctan ile yanlış bir açıya yerleştirilirdi.
Açı hangi aralıkta çıkar? Açı −180° ile +180° (yani −π ile π radyan) arasında verilir. 0–360° aralığında bir sonuç tercih ediyorsanız 360° ekleyebilirsiniz.
a ve b'nin ikisi de sıfırsa ne olur? Bu durumda r = 0 olur ve açı tanımsızdır (bu hesaplayıcı 0 döndürür).
