什么是极坐标形式？
任何一个复数都可以用两种方式来表示。直角坐标（或称代数形式）写作 \(a + bi\)，其中 \(a\) 是实部，\(b\) 是虚部。而极坐标形式则用复数到原点的距离及其方向来表示同一个数：\(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\)，常简写为 \(r\angle\theta\)，也可以写成复指数形式 \(r\cdot e^{i\theta}\)。本计算器可将任意直角坐标形式的复数转换为极坐标形式，给出模长 \(r\) 以及以度数和弧度两种单位表示的幅角 \(\theta\)。
如何使用本计算器
输入复数的实部 \(a\) 和虚部 \(b\)，即可直接读取结果。模长告诉你该点距离原点有多远，幅角则表示它相对于正实轴的方向。两种形式描述的，正是复平面上同一个点。
公式详解
模长可由勾股定理求得：\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)。幅角则使用双参数反正切函数 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)，它能自动返回正确的象限——这是普通的 \(\arctan(b/a)\) 做不到的，因为后者会丢失符号信息。结果落在 \((-180°, 180°]\) 区间内。要把弧度换算成度数，只需乘以 \(180/\pi\)。
$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\; \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
例题演示
以复数 \(3 + 4i\) 为例。模长为 $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ 幅角为 $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ 弧度} \approx 53.13°.$$ 因此 \(3 + 4i = 5(\cos 53.13° + i\cdot\sin 53.13°)\)。
常见问题
为什么要用 atan2 而不是 arctan？ 因为 atan2 会同时考虑 \(a\) 和 \(b\) 的正负号，从而把幅角放到正确的象限里。举例来说，\(-1 - i\) 用普通的 arctan 计算就会被算错象限。
得到的幅角范围是多少？ 幅角返回值介于 \(-180°\) 到 \(+180°\) 之间（即 \(-\pi\) 到 \(\pi\) 弧度）。如果你更习惯 0–360° 的结果，加上 360° 即可。
如果 a 和 b 都为零怎么办？ 此时 \(r = 0\)，幅角无定义（本计算器返回 0）。
