ما هي الصيغة القطبية؟
يمكن كتابة أي عدد مركب بطريقتين. الصيغة الديكارتية (أو المستطيلة) هي \(a + bi\)، حيث يمثّل \(a\) الجزء الحقيقي و\(b\) الجزء التخيّلي. أما الصيغة القطبية فتعبّر عن العدد نفسه عبر بُعده عن نقطة الأصل واتجاهه: \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\)، وكثيرًا ما تُختصر إلى \(r\angle\theta\) أو تُكتب على هيئة دالة أسية مركبة \(r\cdot e^{i\theta}\). تحوّل هذه الحاسبة أي عدد مركب من الصيغة المستطيلة إلى الصيغة القطبية، فتمنحك المقدار \(r\) والزاوية \(\theta\) بالدرجات والراديان معًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الجزء الحقيقي \(a\) والجزء التخيّلي \(b\) للعدد المركب، ثم اطّلع على النتائج مباشرة. يدلّ المقدار على مدى بُعد النقطة عن نقطة الأصل، بينما تشير الزاوية إلى اتجاهها بالنسبة إلى المحور الحقيقي الموجب. وكلتا الصيغتين تصفان النقطة نفسها تمامًا على المستوى المركّب.
شرح المعادلة
يُحسَب المقدار باستخدام نظرية فيثاغورس: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). أما الزاوية فتُحسَب بدالة الظل العكسي ذات الوسيطين \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)، التي تُرجع الرُّبع الصحيح تلقائيًا — وهو ما لا تستطيع دالة \(\arctan(b/a)\) العادية فعله لأنها تفقد معلومات الإشارة. وتُعطى النتيجة ضمن المجال \((-180^\circ,\ 180^\circ]\). ولتحويل الراديان إلى درجات، اضرب القيمة في \(180/\pi\).
مثال محلول
لنأخذ العدد المركب \(3 + 4i\). المقدار هو $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ والزاوية هي $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ راديان} \approx 53.13^\circ.$$ وبذلك يكون $$3 + 4i = 5(\cos 53.13^\circ + i\cdot\sin 53.13^\circ).$$
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم atan2 بدلًا من arctan؟ لأن atan2 تأخذ في الحسبان إشارتَي \(a\) و\(b\)، فتضع الزاوية في الرُّبع الصحيح. فعلى سبيل المثال، العدد \(-1 - i\) ستضعه دالة arctan العادية في رُبع خاطئ.
ما مجال الزاوية الذي أحصل عليه؟ تُعطى الزاوية بين \(-180^\circ\) و\(+180^\circ\) (أو من \(-\pi\) إلى \(\pi\) راديان). أضِف \(360^\circ\) إذا كنت تفضّل نتيجة في المجال من \(0^\circ\) إلى \(360^\circ\).
ماذا لو كان كلٌّ من a وb يساوي صفرًا؟ عندئذٍ يكون \(r = 0\) وتصبح الزاوية غير معرّفة (تُرجع هذه الحاسبة القيمة 0).
