극형식이란?
모든 복소수는 두 가지 방식으로 표현할 수 있습니다. 직교형식(또는 직각좌표 형식)은 a + bi로 나타내며, 여기서 a는 실수부, b는 허수부입니다. 극형식은 같은 수를 원점으로부터의 거리와 방향으로 표현합니다. 즉 \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\) 형태이며, 흔히 \(r\angle\theta\)로 줄여 쓰거나 복소지수 형태인 \(r\cdot e^{i\theta}\)로 나타냅니다. 이 계산기는 직교형식의 복소수를 극형식으로 변환하여, 크기 r과 각도 θ를 도(°)와 라디안 두 단위로 모두 알려줍니다.
계산기 사용법
복소수의 실수부 a와 허수부 b를 입력하면 결과가 바로 표시됩니다. 크기는 해당 점이 원점에서 얼마나 떨어져 있는지를, 각도는 양의 실수축을 기준으로 어느 방향에 있는지를 나타냅니다. 두 형식 모두 복소평면 위의 정확히 같은 점을 가리킵니다.
공식 풀이
크기는 피타고라스 정리로 구합니다: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). 각도는 두 인수를 받는 아크탄젠트, 즉 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)를 사용합니다. 이 함수는 올바른 사분면을 자동으로 찾아줍니다. 단순한 \(\arctan(b/a)\)는 부호 정보를 잃어버리기 때문에 이를 구분하지 못합니다. 결과 각도는 (−180°, 180°] 범위로 주어집니다. 라디안을 도로 바꾸려면 \(180/\pi\)를 곱하면 됩니다.
$$z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{\text{Real }(a)^{2} + \text{Imag }(b)^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}\!\left(\text{Imag }(b),\; \text{Real }(a)\right) \end{aligned} \right.$$
예제로 확인하기
복소수 3 + 4i를 예로 들어 보겠습니다. 크기는 $$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$입니다. 각도는 $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ 라디안} \approx 53.13°$$입니다. 따라서 \(3 + 4i = 5(\cos 53.13° + i\cdot\sin 53.13°)\)로 표현됩니다.
자주 묻는 질문
arctan 대신 atan2를 쓰는 이유는? atan2는 a와 b의 부호를 모두 고려하기 때문에 각도를 올바른 사분면에 배치합니다. 예를 들어 −1 − i의 경우 단순한 arctan으로는 잘못된 각도가 나옵니다.
각도 범위는 어떻게 되나요? 각도는 −180°에서 +180° 사이(또는 −π에서 π 라디안 사이)로 반환됩니다. 0~360° 범위를 원한다면 360°를 더해 주세요.
a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(r = 0\)이 되고 각도는 정의되지 않습니다(이 계산기는 0을 반환합니다).
