極形式とは？
どんな複素数も2通りの方法で表すことができます。一つは直交形式（カルテシアン形式）で、\(a + bi\) と書きます。ここで \(a\) が実部、\(b\) が虚部です。もう一つの極形式は、同じ数を「原点からの距離」と「向き」を使って表現します。式で書くと \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\) となり、しばしば \(r\angle\theta\) と略記したり、複素指数関数を用いて \(r\cdot e^{i\theta}\) と表したりします。この計算機は、直交形式の複素数を極形式に変換し、絶対値 \(r\) と偏角 \(\theta\) を度数法・弧度法の両方で算出します。
計算機の使い方
複素数の実部 \(a\) と虚部 \(b\) を入力するだけで、結果がすぐに表示されます。絶対値はその点が原点からどれだけ離れているかを、偏角は正の実軸を基準としたその点の向きを示します。直交形式と極形式は、複素平面上のまったく同じ点を表しています。
計算式の解説
絶対値はピタゴラスの定理を使って求めます：
$$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$偏角には引数が2つのアークタンジェント
$$\theta = \operatorname{atan2}(b,\, a)$$を用います。これにより、点がどの象限にあるかを自動的に正しく判定できます。単純な \(\arctan(b/a)\) では符号の情報が失われてしまうため、この判定ができません。結果は \((-180^\circ, 180^\circ]\) の範囲で得られます。弧度法を度数法に変換するには \(180/\pi\) を掛けます。
計算例
複素数 \(3 + 4i\) で考えてみましょう。絶対値は
$$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$となります。偏角は
$$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ ラジアン} \approx 53.13^\circ$$です。したがって \(3 + 4i = 5(\cos 53.13^\circ + i\cdot\sin 53.13^\circ)\) と表せます。
よくある質問
なぜ arctan ではなく atan2 を使うのですか？ atan2 は \(a\) と \(b\) の両方の符号を考慮するため、偏角を正しい象限に配置できるからです。たとえば \(-1 - i\) の場合、単純な arctan では誤った角度になってしまいます。
得られる偏角の範囲は？ 偏角は \(-180^\circ\) から \(+180^\circ\)（弧度法では \(-\pi\) から \(\pi\)）の範囲で返されます。0〜360° の結果が必要な場合は 360° を加えてください。
a と b が両方とも 0 の場合はどうなりますか？ このとき \(r = 0\) となり、偏角は定義されません（この計算機では 0 を返します）。
