¿Qué es la forma polar?
Todo número complejo se puede escribir de dos maneras. La forma rectangular (o cartesiana) es \(a + bi\), donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. La forma polar expresa ese mismo número mediante su distancia al origen y su dirección: \(r(\cos\theta + i\cdot\operatorname{sen}\theta)\), que se suele abreviar como \(r\angle\theta\) o escribir como la exponencial compleja \(r\cdot e^{i\theta}\). Esta calculadora convierte cualquier número complejo en forma rectangular a forma polar y te ofrece el módulo r y el ángulo θ tanto en grados como en radianes.
Cómo usar la calculadora
Introduce la parte real a y la parte imaginaria b de tu número complejo y consulta los resultados directamente. El módulo indica a qué distancia se encuentra el punto del origen, y el ángulo señala su dirección respecto al eje real positivo. Ambas formas describen exactamente el mismo punto del plano complejo.
La fórmula explicada
El módulo se obtiene con el teorema de Pitágoras: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). El ángulo se calcula con el arcotangente de dos argumentos, \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), que devuelve automáticamente el cuadrante correcto, algo que el \(\arctan(b/a)\) simple no puede hacer porque pierde la información del signo. El resultado se entrega en el intervalo \((-180°, 180°]\). Para pasar de radianes a grados, multiplica por \(180/\pi\).
Ejemplo resuelto
Tomemos el número complejo \(3 + 4i\). El módulo es $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ El ángulo es $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radianes} \approx 53{,}13°.$$ Por tanto, \(3 + 4i = 5(\cos 53{,}13° + i\cdot\operatorname{sen} 53{,}13°)\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué usar atan2 en lugar de arctan? Porque atan2 tiene en cuenta los signos de a y b, de modo que coloca el ángulo en el cuadrante correcto. Por ejemplo, \(-1 - i\) quedaría mal situado con el arctan simple.
¿En qué intervalo obtengo el ángulo? El ángulo se devuelve entre \(-180°\) y \(+180°\) (o entre \(-\pi\) y \(\pi\) radianes). Suma 360° si prefieres un resultado en el rango de 0 a 360°.
¿Qué ocurre si a y b son ambos cero? Entonces \(r = 0\) y el ángulo queda indefinido (esta calculadora devuelve 0).
