ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحوّل هذه الأداة عددًا مركّبًا مكتوبًا في الصيغة القطبية — أي المقدار r (ويُسمى أيضًا المعيار أو المقياس) والزاوية θ (الوسيطة أو الزاوية الطورية) — إلى صيغته المستطيلة أو الديكارتية \(x + yi\). غالبًا ما تُكتب الصيغة القطبية على هيئة \(r\cdot e^{\theta i}\) أو \(r\angle\theta\)، وكثير من مسائل الهندسة والفيزياء ومعالجة الإشارات تتطلب الرجوع إلى التمثيل المألوف \(x + yi\).
طريقة الاستخدام
أدخل المقدار r والزاوية θ، ثم اختر ما إذا كانت θ معطاة بالراديان (وهو الخيار الافتراضي) أم بالدرجات. تقوم الحاسبة داخليًا بتحويل الدرجات إلى راديان بضربها في \(\pi/180\)، ثم تحسب المركّبتين الحقيقية والتخيّلية وتجمعهما في الصيغة الكاملة \(x + yi\).
شرح المعادلة
أي نقطة على المستوى المركّب تبعد مسافة r عن نقطة الأصل وتصنع زاوية θ مع المحور الحقيقي الموجب تكون إحداثياتها كالتالي:
$$x = r\cdot\cos\theta \quad \text{و} \quad y = r\cdot\sin\theta$$
وعندئذٍ يكون العدد المركّب \(z = x + y\cdot i\). أما العلاقتان العكسيتان (للاطلاع فقط) فهما \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) و\(\theta = \arctan(y / x)\)، لكن هذه الأداة تُجري التحويل في الاتجاه الأمامي فقط من القطبية → الديكارتية.
مثال محلول
لنأخذ \(r = 2\) و\(\theta = \pi/3\) بالراديان. عندئذٍ \(x = 2\cdot\cos(\pi/3) = 2\cdot 0.5 = 1\)، و\(y = 2\cdot\sin(\pi/3) = 2\cdot 0.8660254 = 1.7320508\). والنتيجة هي \(1 + 1.7320508076\, i\).
وبالدرجات: \(r = 5\) و\(\theta = 30^\circ\). نحوّل الزاوية: \(30\cdot\pi/180 = 0.5235988\) راديان. عندئذٍ \(x = 5\cdot\cos = 4.330127019\) وy = \(5\cdot\sin = 2.5\)، فتكون النتيجة \(4.330127019 + 2.5\, i\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان \(r = 0\)؟ تكون النتيجة 0 (نقطة الأصل) بغضّ النظر عن قيمة الزاوية، لأن كلًّا من x وy يساوي صفرًا.
هل يمكن أن يكون r سالبًا؟ نعم. القيمة السالبة لـ r صحيحة، وهي ببساطة تعكس النقطة عبر نقطة الأصل، وتكافئ إضافة \(\pi\) إلى الزاوية.
لماذا يجب أن أختار بين الراديان والدرجات؟ لأن الدوال المثلثية تعمل بوحدة الراديان. وعند اختيار «الدرجات» تُضرب زاويتك أولًا في \(\pi/180\) ليكون الجواب صحيحًا.
