यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल पोलर रूप में लिखी गई किसी सम्मिश्र संख्या — यानी एक परिमाण r (जिसे मॉड्यूलस भी कहते हैं) और एक कोण θ (आर्गुमेंट) — को उसके आयताकार या कार्तीय रूप \(x + yi\) में बदल देता है। पोलर रूप को अक्सर \(r\cdot e^{\theta i}\) या \(r\angle\theta\) के रूप में लिखा जाता है, और इंजीनियरिंग, भौतिकी तथा सिग्नल-प्रोसेसिंग की कई समस्याओं में वापस उसी परिचित \(x + yi\) रूप में आना ज़रूरी होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
परिमाण r और कोण θ दर्ज करें। चुनें कि θ रेडियन में दिया गया है (यही डिफ़ॉल्ट है) या डिग्री में। कैलकुलेटर भीतर ही डिग्री को \(\pi/180\) से गुणा करके रेडियन में बदलता है, फिर वास्तविक और काल्पनिक घटकों की गणना करके पूरी \(x + yi\) स्ट्रिंग तैयार कर देता है।
सूत्र की व्याख्या
सम्मिश्र समतल पर मूल बिंदु से r दूरी और धनात्मक वास्तविक अक्ष से θ कोण पर स्थित बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार होते हैं:
$$x = r\cdot\cos\theta \quad \text{और} \quad y = r\cdot\sin\theta$$तब सम्मिश्र संख्या \(z = x + y\cdot i\) होती है। इसके विपरीत संबंध (केवल संदर्भ के लिए) हैं \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) और \(\theta = \arctan(y / x)\), परंतु यह टूल केवल आगे की दिशा यानी पोलर → कार्तीय रूपांतरण ही करता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r = 2\) और \(\theta = \pi/3\) रेडियन में है। तब $$x = 2\cdot\cos(\pi/3) = 2\cdot 0.5 = 1,$$ और $$y = 2\cdot\sin(\pi/3) = 2\cdot 0.8660254 = 1.7320508।$$ परिणाम है 1 + 1.7320508076 i।
डिग्री में: \(r = 5\), \(\theta = 30^\circ\)। बदलें: \(30\cdot\pi/180 = 0.5235988\) रेडियन। तब \(x = 5\cdot\cos = 4.330127019\) और \(y = 5\cdot\sin = 2.5\), जिससे मिलता है 4.330127019 + 2.5 i।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि \(r = 0\) हो तो क्या होगा? परिणाम 0 (मूल बिंदु) ही रहेगा, चाहे कोण कुछ भी हो, क्योंकि \(x\) और \(y\) दोनों शून्य हो जाते हैं।
क्या r ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक \(r\) मान्य है और यह बस बिंदु को मूल बिंदु के आर-पार परावर्तित कर देता है, जो कोण में \(\pi\) जोड़ने के बराबर है।
मुझे रेडियन या डिग्री क्यों चुनना पड़ता है? त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में काम करते हैं। "डिग्री" चुनने पर आपके कोण को पहले \(\pi/180\) से गुणा किया जाता है ताकि उत्तर सही आए।
