सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर क्या है?
एक सम्मिश्र संख्या (complex number) का रूप होता है \(a + bi\), जहाँ \(a\) वास्तविक भाग (real part) है, \(b\) काल्पनिक भाग (imaginary part) है, और \(i\) काल्पनिक इकाई है जिसे \(i^2 = -1\) से परिभाषित किया जाता है। यह कैलकुलेटर दो सम्मिश्र संख्याओं पर चारों मूल अंकगणितीय क्रियाएं — जोड़, घटाव, गुणा और भाग — करता है और उत्तर को मानक \(a + bi\) रूप में, साथ ही उसके परिमाण (modulus) के साथ दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी पहली संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग (\(a\) और \(b\)) दर्ज करें, एक क्रिया चुनें, फिर दूसरी संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग (\(c\) और \(d\)) दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत परिणामी सम्मिश्र संख्या और उसका परिमाण $$|z| = \sqrt{\text{वास्तविक}^2 + \text{काल्पनिक}^2}$$ दिखा देता है।
सूत्रों की व्याख्या
जोड़/घटाव: समान भागों को मिलाएं — \((a \pm c) + (b \pm d)\,i\)। गुणा: गुणनफल का विस्तार करें और \(i^2 = -1\) का प्रयोग करके \((ac - bd) + (ad + bc)\,i\) प्राप्त करें। भाग: अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate) \((c - di)\) से गुणा करें, जिससे मिलता है $$\frac{(ac + bd) + (bc - ad)\,i}{c^2 + d^2}$$।
हल किया गया उदाहरण
\((3 + 2i)\) को \((1 + 4i)\) से गुणा करें। वास्तविक भाग \(= (3 \cdot 1 - 2 \cdot 4) = 3 - 8 = -5\)। काल्पनिक भाग \(= (3 \cdot 4 + 2 \cdot 1) = 12 + 2 = 14\)। इसलिए उत्तर है \(-5 + 14i\), जिसका परिमाण $$\sqrt{(-5)^2 + 14^2} = \sqrt{221} \approx 14.866$$ है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
परिमाण का क्या अर्थ है? यह सम्मिश्र तल (complex plane) में बिंदु \(a+bi\) की मूल बिंदु (origin) से दूरी है, जिसे \(\sqrt{a^2+b^2}\) से निकाला जाता है।
जब मैं \(0+0i\) से भाग दूं तो क्या होता है? शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है; सुरक्षा के तौर पर कैलकुलेटर \(0+0i\) लौटाता है, इसलिए हर को शून्य रखने से बचें।
क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव मान दर्ज कर सकता हूँ? हाँ। चारों इनपुट फ़ील्ड किसी भी वास्तविक संख्या — धनात्मक, ऋणात्मक या भिन्नात्मक — को स्वीकार करते हैं।
