गणना दर्ज करें

परिणाम

4 + 6 i

a + bi के रूप में

वास्तविक भाग	4
काल्पनिक भाग	6
परिमाण \|z\|	7.211103

सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर क्या है?

एक सम्मिश्र संख्या (complex number) का रूप होता है $a + bi$, जहाँ $a$ वास्तविक भाग (real part) है, $b$ काल्पनिक भाग (imaginary part) है, और $i$ काल्पनिक इकाई है जिसे $i^2 = -1$ से परिभाषित किया जाता है। यह कैलकुलेटर दो सम्मिश्र संख्याओं पर चारों मूल अंकगणितीय क्रियाएं — जोड़, घटाव, गुणा और भाग — करता है और उत्तर को मानक $a + bi$ रूप में, साथ ही उसके परिमाण (modulus) के साथ दिखाता है।

सम्मिश्र संख्या को वास्तविक और काल्पनिक अक्षों वाले सम्मिश्र तल पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया गया — सम्मिश्र संख्या $a+bi$ को सम्मिश्र तल पर एक बिंदु के रूप में उसके परिमाण सहित दर्शाया गया है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपनी पहली संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग ($a$ और $b$) दर्ज करें, एक क्रिया चुनें, फिर दूसरी संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग ($c$ और $d$) दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत परिणामी सम्मिश्र संख्या और उसका परिमाण $$|z| = \sqrt{\text{वास्तविक}^2 + \text{काल्पनिक}^2}$$ दिखा देता है।

सूत्रों की व्याख्या

जोड़/घटाव: समान भागों को मिलाएं — $(a \pm c) + (b \pm d)\,i$। गुणा: गुणनफल का विस्तार करें और $i^2 = -1$ का प्रयोग करके $(ac - bd) + (ad + bc)\,i$ प्राप्त करें। भाग: अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate) $(c - di)$ से गुणा करें, जिससे मिलता है $$\frac{(ac + bd) + (bc - ad)\,i}{c^2 + d^2}$$।

दो सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणन के नियम दर्शाने वाला आरेख — जोड़ने और गुणा करने पर वास्तविक और काल्पनिक भाग कैसे मिलते हैं।

हल किया गया उदाहरण

$(3 + 2i)$ को $(1 + 4i)$ से गुणा करें। वास्तविक भाग $= (3 \cdot 1 - 2 \cdot 4) = 3 - 8 = -5$। काल्पनिक भाग $= (3 \cdot 4 + 2 \cdot 1) = 12 + 2 = 14$। इसलिए उत्तर है $-5 + 14i$, जिसका परिमाण $$\sqrt{(-5)^2 + 14^2} = \sqrt{221} \approx 14.866$$ है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

परिमाण का क्या अर्थ है? यह सम्मिश्र तल (complex plane) में बिंदु $a+bi$ की मूल बिंदु (origin) से दूरी है, जिसे $\sqrt{a^2+b^2}$ से निकाला जाता है।

जब मैं $0+0i$ से भाग दूं तो क्या होता है? शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है; सुरक्षा के तौर पर कैलकुलेटर $0+0i$ लौटाता है, इसलिए हर को शून्य रखने से बचें।

क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव मान दर्ज कर सकता हूँ? हाँ। चारों इनपुट फ़ील्ड किसी भी वास्तविक संख्या — धनात्मक, ऋणात्मक या भिन्नात्मक — को स्वीकार करते हैं।

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