घन समीकरण कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) रूप के किसी भी घन समीकरण को हल करता है और इसके तीनों मूल खोज निकालता है — चाहे वे वास्तविक हों या सम्मिश्र। इसमें कार्डानो की विधि के साथ-साथ त्रिकोणमितीय (casus irreducibilis) हल का उपयोग किया जाता है, जिससे परिणाम संख्यात्मक रूप से स्थिर रहते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
चारों गुणांक a, b, c और d दर्ज करें। समीकरण के घन (cubic) रहने के लिए गुणांक a का शून्य के अलावा होना ज़रूरी है। कैलकुलेटर आपको विविक्तकर (discriminant), कितने वास्तविक मूल मौजूद हैं, और प्रत्येक मूल के वास्तविक तथा काल्पनिक भाग बताता है।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले हम \(x = t - \frac{b}{3a}\) प्रतिस्थापित करके वर्गीय पद को हटाते हैं, जिससे न्यूनीकृत घन समीकरण \(t^3 + pt + q = 0\) मिलता है, जहाँ \(p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}\) और \(q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\)। विविक्तकर $$\Delta = -4p^3 - 27q^2$$ यह तय करता है कि मूल किस प्रकार के होंगे: \(\Delta > 0\) पर तीन अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं, \(\Delta = 0\) पर दोहराए गए वास्तविक मूल, और \(\Delta < 0\) पर एक वास्तविक मूल के साथ एक सम्मिश्र-संयुग्मी (complex-conjugate) जोड़ा मिलता है। जब सभी मूल वास्तविक होते हैं तब हम उपयोग करते हैं: $$t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{p \cdot 2\sqrt{-\frac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) के लिए \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), \(d=-6\) है। न्यूनीकृत घन समीकरण से \(p = -\frac{1}{3}\) और \(q = -0.0741\) मिलता है। विविक्तकर धनात्मक है, इसलिए तीन वास्तविक मूल मिलते हैं, जिन्हें कैलकुलेटर क्रमबद्ध करके 1, 2 और 3 देता है — यानी ठीक वही गुणनखंडन \((x-1)(x-2)(x-3)\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(a = 0\) हो तो? तब यह घन समीकरण नहीं रहता; इस टूल के लिए \(a \neq 0\) होना आवश्यक है।
कुछ मूल सम्मिश्र क्यों होते हैं? सम्मिश्र संख्याओं में घन समीकरण के हमेशा तीन मूल होते हैं; जब विविक्तकर ऋणात्मक होता है, तो उनमें से दो एक संयुग्मी जोड़ा बनाते हैं।
मूल किस क्रम में दिखाए जाते हैं? एकरूपता के लिए वास्तविक मूल आरोही क्रम (बढ़ते क्रम) में सजाए जाते हैं।
