Máy tính phương trình bậc 3 là gì?
Công cụ này giải mọi phương trình bậc ba dạng \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) và tìm ra cả ba nghiệm — dù là nghiệm thực hay nghiệm phức. Máy tính kết hợp phương pháp Cardano với lời giải lượng giác (trường hợp casus irreducibilis) nên kết quả luôn ổn định về mặt số học.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập bốn hệ số a, b, c và d. Hệ số a phải khác 0 thì phương trình mới là phương trình bậc ba. Máy tính sẽ trả về biệt thức, số nghiệm thực, cùng phần thực và phần ảo của từng nghiệm.
Giải thích công thức
Trước hết, ta khử số hạng bậc hai bằng cách đặt \(x = t - b/(3a)\), đưa về phương trình bậc ba khuyết \(t^3 + pt + q = 0\), với $$p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} \qquad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}$$ Biệt thức $$\Delta = -4p^3 - 27q^2$$ quyết định bản chất của các nghiệm: khi \(\Delta > 0\) có ba nghiệm thực phân biệt, khi \(\Delta = 0\) có nghiệm thực bội, còn khi \(\Delta < 0\) có một nghiệm thực cùng một cặp nghiệm phức liên hợp. Khi cả ba nghiệm đều là số thực, ta dùng công thức $$t_k = 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$
Ví dụ minh họa
Với phương trình \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\), ta có \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), \(d=-6\). Phương trình bậc ba khuyết cho \(p = -\tfrac{1}{3}\) và \(q = -0{,}0741\). Biệt thức dương nên phương trình có ba nghiệm thực, được máy tính sắp xếp thành 1, 2 và 3 — đúng bằng cách phân tích thành nhân tử \((x-1)(x-2)(x-3)\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu a = 0 thì sao? Khi đó đây không còn là phương trình bậc ba; công cụ này yêu cầu \(a \neq 0\).
Vì sao có những nghiệm phức? Trên tập số phức, phương trình bậc ba luôn có đúng ba nghiệm; khi biệt thức âm, hai trong số đó tạo thành một cặp liên hợp.
Các nghiệm được liệt kê theo thứ tự nào? Các nghiệm thực được sắp xếp theo thứ tự tăng dần để dễ theo dõi và nhất quán.
