ما هي حاسبة المعادلة التكعيبية؟
تحلّ هذه الأداة أي معادلة تكعيبية على الصورة \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\)، فتجد الجذور الثلاثة كاملة سواء كانت حقيقية أو مركّبة. وتعتمد على طريقة كاردانو إلى جانب الحل المثلثي (حالة casus irreducibilis) لتبقى النتائج مستقرة عددياً.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الأربعة a وb وc وd. يجب أن يكون المعامل a مختلفاً عن الصفر حتى تكون المعادلة تكعيبية. تُرجع الحاسبة قيمة المميّز، وعدد الجذور الحقيقية، إضافةً إلى الجزء الحقيقي والجزء التخيّلي لكل جذر.
شرح القانون
نبدأ بإزالة الحد التربيعي عبر التعويض \(x = t - \frac{b}{3a}\)، فنحصل على المعادلة التكعيبية المختزلة $$t^{3} + pt + q = 0$$ حيث \(p = \frac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}\) و \(q = \frac{2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}\). ويحدّد المميّز \(\Delta = -4p^{3} - 27q^{2}\) طبيعة الجذور: فإذا كان \(\Delta > 0\) نتجت ثلاثة جذور حقيقية متمايزة، وإذا كان \(\Delta = 0\) ظهرت جذور حقيقية مكرّرة، أما إذا كان \(\Delta < 0\) فينتج جذر حقيقي واحد مع زوج مترافق من الجذور المركّبة. وعندما تكون جميع الجذور حقيقية نستخدم: $$t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\frac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$
مثال محلول
لنأخذ المعادلة $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$$ حيث \(a=1\) و \(b=-6\) و \(c=11\) و \(d=-6\). تعطي المعادلة المختزلة \(p = -\frac{1}{3}\) و \(q = -0.0741\). والمميّز موجب، فينتج ثلاثة جذور حقيقية ترتّبها الحاسبة إلى \(1\) و\(2\) و\(3\) — وهي تماماً التحليل \((x-1)(x-2)(x-3)\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(a = 0\)؟ عندئذٍ لا تكون المعادلة تكعيبية؛ إذ تتطلّب هذه الأداة أن يكون \(a \neq 0\).
لماذا تكون بعض الجذور مركّبة؟ تمتلك المعادلة التكعيبية دائماً ثلاثة جذور ضمن الأعداد المركّبة؛ وعندما يكون المميّز سالباً يشكّل اثنان منها زوجاً مترافقاً.
بأي ترتيب تُعرض الجذور؟ تُرتّب الجذور الحقيقية تصاعدياً لضمان الاتساق.
