ما هي المعادلة الكسرية؟
المعادلة الكسرية هي معادلة تحتوي على كسر واحد أو أكثر يظهر فيه المتغيّر في المقام. وتتعامل هذه الحاسبة مع الصيغة الشائعة ذات الكسرين \(\frac{a}{x + b} = \frac{c}{x + d}\)، حيث تمثّل a وb وc وd أعدادًا تُدخلها بنفسك، بينما x هو المجهول المطلوب إيجاده. وتظهر مثل هذه المعادلات كثيرًا في الجبر، ومسائل المعدلات، والخلطات، والتناسب.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الثوابت الأربعة: تصف a وb الكسر الأيسر \(\frac{a}{x + b}\)، فيما تصف c وd الكسر الأيمن \(\frac{c}{x + d}\). اضغط على زر الحساب لتقوم الأداة بإزالة الكسور وحلّ المعادلة لإيجاد x، مع تنبيهك إذا كانت النتيجة قيمة مستبعَدة (أي قيمة تجعل أحد المقامات يساوي صفرًا).
شرح القانون
نبدأ بالضرب التبادلي: \(a(x + d) = c(x + b)\). وبفكّ الأقواس نحصل على \(ax + ad = cx + cb\). ننقل بعد ذلك حدود x إلى طرف واحد لنصل إلى \((a - c)x = cb - ad\). وما دامت a لا تساوي c، نقسم لنحصل على $$x = \frac{cb - ad}{a - c}$$ أمّا إذا كانت a تساوي c، فإمّا ألا يكون هناك حل أو أن تكون الحلول لا نهائية، وذلك تبعًا لما إذا كانت \(cb - ad\) لا تساوي صفرًا.
مثال محلول
لنحل المعادلة \(\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4}\). هنا a = 2، وb = 1، وc = 3، وd = 4. إذًا $$x = \frac{cb - ad}{a - c} = \frac{3\cdot 1 - 2\cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5$$ وللتحقق: \(\frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) و\(\frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). فالطرفان متساويان، وعليه يكون x = 5.
الأسئلة الشائعة
ما هو الحل الدخيل؟ هو قيمة لـ x تحقّق المعادلة بعد إزالة الكسور لكنها تجعل أحد المقامات الأصلية يساوي صفرًا، لذا يجب رفضها. وتقوم الحاسبة بالكشف عن هذه الحلول والتنبيه إليها تلقائيًا.
ماذا لو كانت a تساوي c؟ في هذه الحالة تتلاشى حدود x. فإن كانت cb تساوي ad فإن المعادلة تكون متطابِقة (تتحقّق لكل قيم x الحقيقية)؛ وإلا فلا يوجد حل.
هل يمكنها حل المعادلات التربيعية؟ في هذه الصيغة ذات الكسرين تصبح المعادلة خطية بالنسبة إلى x بعد إزالة المقامات، لذا يوجد حل واحد على الأكثر.
