유리방정식이란?
유리방정식은 분모에 미지수가 들어 있는 분수를 하나 이상 포함하는 방정식입니다. 이 계산기는 가장 흔하게 쓰이는 두 분수 형태인 \(\frac{\text{a}}{x + \text{b}} = \frac{\text{c}}{x + \text{d}}\)를 다룹니다. 여기서 a, b, c, d는 여러분이 직접 입력하는 수이고 x는 구해야 할 미지수입니다. 이런 방정식은 대수, 속력, 농도(혼합), 비례 문제에서 자주 등장합니다.
계산기 사용법
네 개의 상수를 입력하세요. a와 b는 왼쪽 분수 \(\frac{\text{a}}{x + \text{b}}\)를, c와 d는 오른쪽 분수 \(\frac{\text{c}}{x + \text{d}}\)를 나타냅니다. 계산 버튼을 누르면 분모를 없애고 x를 구한 뒤, 그 값이 분모를 0으로 만드는 제외값(무연근)이라면 경고를 표시해 줍니다.
공식 풀이
먼저 교차곱셈을 합니다: \(\text{a}(x + \text{d}) = \text{c}(x + \text{b})\). 전개하면 \(\text{a}x + \text{a}\text{d} = \text{c}x + \text{c}\text{b}\)가 됩니다. x 항을 한쪽으로 모으면 \((\text{a} - \text{c})x = \text{c}\text{b} - \text{a}\text{d}\). a가 c와 같지 않다면 양변을 나누어 다음을 얻습니다.
$$x = \frac{\text{c}\,\text{b} - \text{a}\,\text{d}}{\text{a} - \text{c}}$$만약 a가 c와 같다면, \(\text{c}\text{b} - \text{a}\text{d}\)가 0이 아닌지 여부에 따라 해가 없거나 무수히 많은 해를 갖게 됩니다.
예제 풀이
\(\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4}\)를 풀어 봅시다. 여기서 a = 2, b = 1, c = 3, d = 4입니다. 따라서
$$x = \frac{\text{c}\text{b} - \text{a}\text{d}}{\text{a} - \text{c}} = \frac{3\cdot 1 - 2\cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5$$검산해 보면 \(\frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)이고 \(\frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)입니다. 양변이 같으므로 x = 5가 맞습니다.
자주 묻는 질문
무연근(extraneous solution)이란 무엇인가요? 분모를 없앤 방정식의 해는 되지만, 원래 식의 분모를 0으로 만들어 버리는 x값을 말합니다. 이런 값은 해에서 제외해야 합니다. 계산기가 이를 자동으로 가려내 표시해 줍니다.
a와 c가 같으면 어떻게 되나요? x 항이 서로 상쇄됩니다. 이때 cb가 ad와 같으면 그 방정식은 항등식이 되어 모든 실수 x가 해가 되고, 그렇지 않으면 해가 없습니다.
이차방정식도 풀 수 있나요? 이 두 분수 형태에서는 분모를 없애고 나면 x에 대한 일차식이 되므로, 해는 많아야 하나뿐입니다.
