Что такое калькулятор кубических уравнений?
Этот инструмент решает любое кубическое уравнение вида \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) и находит все три его корня — как действительные, так и комплексные. В основе расчёта лежит метод Кардано в сочетании с тригонометрической формой решения (так называемый casus irreducibilis, или «неприводимый случай»), благодаря чему результаты остаются численно устойчивыми.
Как пользоваться калькулятором
Введите четыре коэффициента — \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\). Коэффициент \(a\) должен быть отличен от нуля, иначе уравнение перестаёт быть кубическим. Калькулятор покажет дискриминант, количество действительных корней, а также действительную и мнимую части каждого корня.
Разбор формулы
Сначала избавляемся от квадратичного члена с помощью замены \(x = t - b/(3a)\). Получаем приведённое (неполное) кубическое уравнение $$t^3 + pt + q = 0,$$ где \(p = \dfrac{3ac - b^2}{3a^2}\), а \(q = \dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\). Характер корней определяет дискриминант $$\Delta = -4p^3 - 27q^2:$$ при \(\Delta > 0\) уравнение имеет три различных действительных корня, при \(\Delta = 0\) — кратные действительные корни, а при \(\Delta < 0\) — один действительный корень и пару комплексно-сопряжённых. Когда все корни действительные, применяем формулу $$t_k = 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}\cdot\cos\!\left(\tfrac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\!\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right).$$
Пример решения
Возьмём уравнение \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\), где \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), \(d=-6\). После приведения получаем \(p = -\tfrac{1}{3}\) и \(q = -0{,}0741\). Дискриминант положителен, поэтому корней три, и калькулятор упорядочивает их как 1, 2 и 3 — это в точности соответствует разложению на множители \((x-1)(x-2)(x-3)\).
Часто задаваемые вопросы
Что будет, если \(a = 0\)? Тогда уравнение уже не кубическое, и данный калькулятор требует, чтобы \(a \neq 0\).
Почему некоторые корни оказываются комплексными? Любое кубическое уравнение имеет ровно три корня в множестве комплексных чисел; когда дискриминант отрицателен, два из них образуют комплексно-сопряжённую пару.
В каком порядке выводятся корни? Для удобства и единообразия действительные корни сортируются по возрастанию.
