حاسبة التوافيق (nCr)

أدخل الحساب

نتائج

عدد التوافيق (nCr)

ways to choose 2 from 4 (order ignored)

n (إجمالي العناصر)	4
r (المختارة)	2
الترميز	C(4, 2)

ما هي حاسبة التوافيق (nCr)؟

تحسب هذه الأداة عدد التوافيق — وتُكتب nCr أو $C(n, r)$ أو "اختيار r من n" — وهو عدد الطرق الممكنة لانتقاء r عنصراً من مجموعة تضم n عنصراً متمايزاً عندما لا يكون لترتيب الانتقاء أي أهمية. فاختيار {أ، ب} يُعدّ نفس التوفيقة كاختيار {ب، أ}. وهذا ما يُعرف بالمعامل الثنائي، وهو ركيزة أساسية في علم التوافيق ونظرية الاحتمالات والإحصاء.

Selecting a subset of items from a larger group regardless of order — Combinations count the ways to choose r items from n distinct items when order does not matter.

كيفية الاستخدام

أدخل العدد الإجمالي للعناصر n، ثم عدد العناصر التي ترغب في اختيارها r، واقرأ النتيجة مباشرةً. يجب أن تكون القيمتان عددين صحيحين غير سالبين، ولا يمكن أن يتجاوز r قيمة n (تفرض الصفحة الشرط $n \geq r \geq 0$). تعتمد الحاسبة على حساب دقيق بالأعداد الكبيرة، فتبقى النتائج مضبوطة تماماً حتى مع القيم الضخمة دون أي تقريب.

شرح القانون

التعريف التقليدي هو

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$

ولتفادي حساب مضروبات هائلة، تستخدم هذه الأداة الصيغة الضربية المستقرة مع قاعدة التماثل $C(n, r) = C(n, n - r)$: فنضع $k = \min(r, n - r)$، ونبدأ بالقيمة 1، ثم نضرب تكراراً في $(n - k + i)$ ونقسم على $i$ من أجل $i = 1..k$. وكل عملية قسمة دقيقة تماماً، لذا تبقى القيمة المتراكمة عدداً صحيحاً في كل خطوة.

اعلان

Breakdown of the n choose r formula into factorial parts — The formula divides n! by r! and (n-r)! to remove ordering of both the chosen and unchosen items.

مثال محلول

كم عدد الأيدي المكوّنة من بطاقتين التي يمكن سحبها من 4 بطاقات؟

$$C(4, 2) = \frac{4!}{2!\,\cdot\,2!} = \frac{24}{4} = \mathbf{6}$$

ومثال على اليانصيب: اختيار 6 أرقام من أصل 49 يعطي $C(49, 6) = 13{,}983{,}816$ تذكرة مختلفة — وهذا ما يفسّر ضآلة احتمالات الفوز بالجائزة الكبرى.

اعلان

Tree comparing ordered arrangements collapsing into unordered combinations — Several ordered arrangements (permutations) collapse into a single combination since order is ignored.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين التوافيق والتباديل؟ التوافيق لا تأخذ الترتيب بالحسبان، أما التباديل فتعدّه. والعلاقة هي $nPr = nCr \cdot r!$، لذا يكون عدد التباديل دائماً أكبر (أو مساوياً) لعدد التوافيق عند نفس قيمتي n وr.

ما قيمة $C(n, 0)$ أو $C(n, n)$؟ كلتاهما تساوي 1: فهناك طريقة واحدة فقط لعدم اختيار أي شيء، وطريقة واحدة لاختيار كل شيء.

هل يمكن أن يكون r أكبر من n؟ لا. لا يمكنك اختيار عناصر أكثر مما هو متاح، لذا فإن $C(n, r) = 0$ عندما يكون $r > n$؛ وتعتبر هذه الحاسبة تلك الحالة غير صالحة وتُعيد القيمة 0.

الآلات الحاسبة ذات الصلة