ما هي حاسبة التوافيق؟
التوفيقة هي اختيار مجموعة من العناصر من مجموعة أكبر بحيث لا يهم الترتيب ولا يتكرر أي عنصر. تحسب هذه الأداة قيمة nCr — أي عدد المجموعات المختلفة بحجم r التي يمكن تكوينها من مجموعة مكوّنة من n عنصرًا مختلفًا. وهي أداة أساسية في علم التوافيق والاحتمالات وتحليل اليانصيب والإحصاء.
كيفية الاستخدام
أدخل العدد الإجمالي للعناصر n ثم عدد العناصر التي تريد اختيارها r. تعرض الحاسبة فورًا عدد التوافيق الفريدة الممكنة. تأكّد من أن قيمة r ليست أكبر من n؛ فاختيار عدد أكبر من العناصر المتاحة غير معرَّف ويُعيد القيمة صفرًا.
شرح القانون
يُعطى عدد التوافيق بالعلاقة التالية:
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$
هنا الرمز "!" يدل على المضروب (العاملي)، أي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى ذلك العدد. والقسمة على كلٍّ من \(r!\) و\((n-r)!\) تُلغي الترتيبات المكرّرة التي تحسبها التباديل، لأن الترتيب لا أهمية له في التوافيق. وللحفاظ على الدقة مع الأعداد الكبيرة، تستخدم هذه الأداة الصيغة الضربية بدلًا من حساب قيم المضروب الضخمة مباشرةً.
مثال محلول
بكم طريقة يمكن اختيار 3 طلاب من صفّ يضم 5 طلاب؟ بتطبيق القانون: $$\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10$$ إذن هناك 10 فِرَق محتملة مكوّنة من 3 أشخاص.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التوافيق والتباديل؟ في التباديل يكون الترتيب مهمًا (AB ≠ BA)، أما في التوافيق فلا يهم (AB = BA). وعدد التباديل دائمًا أكبر من عدد التوافيق أو مساوٍ له لنفس قيمتي n وr.
ما قيمة nC0 أو nCn؟ كلاهما يساوي 1 — فهناك طريقة واحدة فقط لاختيار لا شيء، وطريقة واحدة لاختيار كل العناصر.
هل تسمح هذه الأداة بتكرار العناصر؟ لا. هذه توافيق بدون تكرار، أي يمكن اختيار كل عنصر مرة واحدة على الأكثر.
