ما هي التوافيق مع التكرار؟
التوافيق مع التكرار، والتي تُعرف غالبًا باسم "الاختيار المتعدد"، تحسب عدد الطرق الممكنة لاختيار r عنصرًا من n نوعًا مختلفًا عندما لا يهمّ ترتيب الاختيار ويُسمح لك باختيار النوع نفسه أكثر من مرة. كل نتيجة هي مجموعة متعددة (multiset)؛ فمثلًا، اختيار كرتين من المثلجات من بين 3 نكهات مع السماح بالتكرار يعطي اختيارات مثل {فانيليا، فانيليا} أو {فانيليا، شوكولاتة}.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة \(n\)، وهي عدد الأنواع أو العناصر المختلفة التي تختار منها، ثم قيمة \(r\)، وهي حجم العيّنة التي تريد سحبها. يجب أن تكون كلتا القيمتين أعدادًا صحيحة غير سالبة. اضغط على زر الحساب لتُعيد الأداة القيمة \(C^R(n,r)\)، أي عدد المجموعات المتعددة المختلفة ذات الحجم \(r\).
شرح القانون
يساوي العدد المعامل الثنائي \(C(n + r - 1, r)\)، الذي يتوسّع إلى $$C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$ هذه هي النتيجة الكلاسيكية المعروفة باسم "النجوم والفواصل" (stars and bars): توزيع \(r\) نجمة متطابقة على \(n\) خانة يفصل بينها \(n - 1\) فاصلة. ولتفادي تجاوز القيم الناتج عن المضروب (factorial overflow)، تضرب الحاسبة الناتج التراكمي في \((n - 1 + i)\) وتقسمه على \(i\) لكل قيمة من \(i\) من 1 إلى \(r\): $$C^R(n,r) = \prod_{i=1}^{r} \frac{n - 1 + i}{i}$$
مثال محلول
لنأخذ \(n = 10\) و \(r = 3\): $$C^R(10,3) = C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$$ إذًا هناك 220 طريقة لاختيار 3 عناصر من 10 أنواع مع السماح بالتكرار.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بينها وبين التوافيق العادية؟ التوافيق العادية \(C(n,r)\) لا تسمح بالتكرار، بينما تسمح التوافيق مع التكرار باختيار العنصر نفسه عدة مرات، لذا يكون الناتج أكبر عادةً.
ماذا لو كانت r = 0؟ توجد طريقة واحدة فقط لعدم اختيار أي شيء، لذا فإن \(C^R(n,0) = 1\) لأي قيمة \(n \geq 1\).
ماذا لو كانت n = 0؟ في حال عدم وجود أي عناصر مع \(r > 0\) يكون الناتج 0؛ أما الحالة الفارغة \(n = 0\) و \(r = 0\) فتساوي 1 بحكم العُرف الرياضي.
