पुनरावृत्ति के साथ संयोजन क्या है?
पुनरावृत्ति के साथ संयोजन, जिसे अक्सर "मल्टीचूज़" कहा जाता है, यह गिनता है कि जब चयन का क्रम मायने न रखता हो और एक ही प्रकार को एक से ज़्यादा बार चुनने की छूट हो, तो n अलग-अलग प्रकारों में से r वस्तुएँ कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं। हर परिणाम एक मल्टीसेट (बहुसमुच्चय) होता है: उदाहरण के लिए, 3 फ्लेवर में से आइसक्रीम के 2 स्कूप चुनना, जहाँ दोहराव की अनुमति हो, तो {वनीला, वनीला} या {वनीला, चॉकलेट} जैसे चयन मिलते हैं।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
n दर्ज करें, यानी जिन अलग-अलग वस्तुओं या प्रकारों में से चुनना है उनकी संख्या, और r दर्ज करें, यानी आप जितने आकार का नमूना लेना चाहते हैं। दोनों ही गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए। "गणना करें" दबाएँ और टूल \(C^R(n,r)\) लौटाएगा, जो r आकार के अलग-अलग मल्टीसेट की संख्या है।
सूत्र की व्याख्या
यह गिनती द्विपद गुणांक \(C(n + r - 1, r)\) के बराबर होती है, जिसका विस्तार $$C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$ के रूप में होता है। यह प्रसिद्ध "स्टार्स एंड बार्स" (तारे और छड़ें) का परिणाम है: r एक जैसे तारों को n - 1 छड़ों से अलग किए गए n खानों में बाँटना। फैक्टोरियल ओवरफ़्लो से बचने के लिए, कैलकुलेटर चलते हुए गुणनफल को \((n - 1 + i)\) से गुणा करता है और \(i\) से भाग देता है, जहाँ \(i\) की कीमत 1 से लेकर r तक होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
n = 10 और r = 3 के लिए: $$C^R(10,3) = C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$$ यानी दोहराव की अनुमति के साथ 10 प्रकारों में से 3 वस्तुएँ चुनने के 220 तरीके हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
यह सामान्य संयोजन से कैसे अलग है? सामान्य संयोजन \(C(n,r)\) में दोहराव की मनाही होती है; पुनरावृत्ति के साथ संयोजन में एक ही वस्तु को कई बार चुना जा सकता है, इसलिए गिनती आम तौर पर ज़्यादा होती है।
अगर r = 0 हो तो? कुछ भी न चुनने का ठीक एक ही तरीका होता है, इसलिए किसी भी \(n \geq 1\) के लिए \(C^R(n,0) = 1\)।
अगर n = 0 हो तो? कोई वस्तु न हो और r > 0 हो, तो परिणाम 0 होता है; खाली स्थिति n = 0, r = 0 को परिपाटी के अनुसार 1 माना जाता है।
