यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह उपकरण संयोजिकी (combinatorics) के मूल सवाल का जवाब देता है: n भिन्न वस्तुओं के समूह में से r वस्तुओं का नमूना कितने तरीकों से चुना या व्यवस्थित किया जा सकता है? यह नमूना चयन के उन चारों मामलों को कवर करता है जो दो हाँ/नहीं विकल्पों से तय होते हैं — क्या क्रम मायने रखता है, और क्या प्रतिस्थापन (replacement) की अनुमति है — साथ ही कुछ स्वतंत्र गिनतियाँ भी: क्रमगुणित (factorial), सम और विषम क्रमचय, और वृत्तीय क्रमचय। हर परिणाम एक विमारहित (dimensionless) संख्या है, इसलिए इसमें कोई इकाई या रूपांतरण शामिल नहीं होता।
नमूना चयन के चार मामले
संचय (Combinations) (क्रम — नहीं, प्रतिस्थापन — नहीं): $$ {}_nC_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!} $$ क्रमचय (Permutations) (क्रम — हाँ, प्रतिस्थापन — नहीं): $$ {}_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!} $$ प्रतिस्थापन सहित संचय (क्रम — नहीं, प्रतिस्थापन — हाँ): $$ CR(n,r) = C(n+r-1,\, r) $$ प्रतिस्थापन सहित क्रमचय (क्रम — हाँ, प्रतिस्थापन — हाँ): $$ PR(n,r) = n^r $$ बिना-प्रतिस्थापन वाले मामलों में, यदि \(r\) का मान \(n\) से बड़ा हो तो उत्तर 0 होता है, क्योंकि आप उपलब्ध वस्तुओं से अधिक नहीं चुन सकते।
स्वतंत्र गिनतियाँ
क्रमगुणित (Factorial) \( n! = n(n-1)\cdots 2\cdot 1 \), जहाँ \( 0! = 1 \) होता है। सम क्रमचय \( = n!/2 \), \(n\) के 2 या उससे बड़े होने पर (यह प्रत्यावर्ती समूह यानी alternating group का आकार है)। विषम क्रमचय \( = n!/2 \), \(n\) के 2 या उससे बड़े होने पर, अन्यथा 0। वृत्तीय क्रमचय \( = (n-1)! \), यानी एक वृत्त के चारों ओर \(n\) वस्तुओं की भिन्न व्यवस्थाओं की संख्या, जहाँ घूर्णन (rotations) को एक समान माना जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने समूह का आकार \(n\) और नमूने का आकार \(r\) दर्ज करें, चयन का प्रकार चुनें, और तरीकों की संख्या पढ़ें। जो विकल्प \(r\) को अनदेखा करते हैं (क्रमगुणित, सम, विषम, वृत्तीय) वे केवल \(n\) का उपयोग करते हैं।
हल किया गया उदाहरण
10 प्रतियोगियों में से 3 विजेता चुनने हैं और क्रम मायने नहीं रखता: \(n = 10\), \(r = 3\) के साथ संचय (Combinations) चुनें। परिणाम होगा $$ C(10,3) = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{720}{6} = 120 $$ यदि क्रम मायने रखता हो (स्वर्ण, रजत, कांस्य), तो क्रमचय (Permutations) पर जाएँ और पाएँ $$ P(10,3) = 10\cdot 9\cdot 8 = 720 $$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
संचय कब और क्रमचय कब इस्तेमाल करें? जब चयन का क्रम मायने न रखता हो (जैसे कोई समिति) तब संचय का उपयोग करें, और जब क्रम मायने रखता हो (जैसे रैंकिंग या पासवर्ड) तब क्रमचय का।
"प्रतिस्थापन सहित" का क्या मतलब है? किसी वस्तु को चुनने के बाद आप उसे वापस रख देते हैं, इसलिए वही वस्तु फिर से चुनी जा सकती है — यह दोहराव के साथ नमूना लेने (sampling with repetition) के लिए उपयोगी है।
बहुत बड़े परिणामों में परिशुद्धता क्यों घट सकती है? गिनतियाँ क्रमगुणित गति से बहुत तेज़ी से बढ़ती हैं और सटीक फ्लोटिंग-पॉइंट सीमा से बाहर जा सकती हैं; बहुत बड़े \(n\) और \(r\) के लिए दिखाई गई पूर्णांक संख्या को एक निकट अनुमान मानें।
