Qué hace esta calculadora
Esta herramienta responde a la pregunta central de la combinatoria: ¿de cuántas maneras puedes seleccionar u ordenar una muestra de r elementos a partir de un conjunto de n objetos distintos? Contempla los cuatro casos de selección de muestras que definen dos preguntas de sí o no —¿importa el orden? y ¿se permite el reemplazo?— además de los cálculos independientes: el factorial, las permutaciones pares e impares y las permutaciones circulares. Todos los resultados son recuentos sin unidades, así que no hay que aplicar conversiones de ningún tipo.
Los cuatro casos de selección de muestras
Combinaciones (sin orden, sin reemplazo): \({}_nC_r = n! / (r!(n-r)!)\). Permutaciones (con orden, sin reemplazo): \({}_nP_r = n! / (n-r)!\). Combinaciones con reemplazo (sin orden, con reemplazo): \(CR(n,r) = C(n+r-1, r)\). Permutaciones con reemplazo (con orden, con reemplazo): \(PR(n,r) = n^r\). En los casos sin reemplazo, si \(r\) supera a \(n\) el resultado es 0, porque no puedes elegir más elementos de los que existen.
Cálculos independientes
Factorial \(n! = n(n-1)\dots2\cdot1\), con \(0! = 1\). Permutaciones pares \(= n!/2\) para \(n\) mayor o igual que 2 (el tamaño del grupo alternado). Permutaciones impares \(= n!/2\) para \(n\) mayor o igual que 2, y 0 en cualquier otro caso. Permutación circular \(= (n-1)!\), el número de disposiciones distintas de \(n\) objetos alrededor de un círculo cuando las rotaciones se consideran equivalentes.
Cómo usarla
Introduce el tamaño del conjunto \(n\) y el de la muestra \(r\), elige el tipo de selección y lee directamente el número de formas posibles. Los modos que no usan \(r\) (factorial, pares, impares y circular) solo tienen en cuenta \(n\).
Ejemplo resuelto
Imagina que eliges a 3 ganadores entre 10 concursantes y el orden no importa: selecciona Combinaciones con \(n = 10\) y \(r = 3\). El resultado es $$C(10,3) = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = \frac{720}{6} = 120.$$ Si el orden sí importara (oro, plata y bronce), cambia a Permutaciones y obtendrás $$P(10,3) = 10\cdot9\cdot8 = 720.$$
Preguntas frecuentes
¿Cuándo uso combinaciones y cuándo permutaciones? Usa combinaciones cuando el orden de selección no importa (formar un comité) y permutaciones cuando sí importa (rankings, contraseñas).
¿Qué significa «con reemplazo»? Tras elegir un elemento lo devuelves al conjunto, de modo que puede volver a salir; resulta útil en el muestreo con repetición.
¿Por qué los resultados muy grandes pueden perder precisión? Los recuentos crecen a velocidad factorial y pueden superar el rango exacto de la coma flotante; con valores muy altos de \(n\) y \(r\), considera el entero mostrado como una aproximación muy cercana.
