यह कैलकुलेटर क्या करता है
पुनरावृत्ति सहित संयोजन कैलकुलेटर यह गिनता है कि जब दोहराव की अनुमति हो और चुनने का क्रम मायने न रखता हो, तो आप n अलग-अलग प्रकारों में से r वस्तुओं को कितने तरीकों से चुन सकते हैं। यह संचय (combinatorics) और प्रायिकता का एक बुनियादी सूत्र है, जिसे अक्सर "तारे और छड़ें" (stars and bars) समस्या कहा जाता है। चूँकि हर प्रकार को एक से अधिक बार चुना जा सकता है, इसलिए यह गिनती बिना पुनरावृत्ति वाले सामान्य संयोजनों की तुलना में बड़ी होती है।
आप कौन-से मान दर्ज करते हैं
- वस्तुओं के प्रकारों की कुल संख्या (n): आपके पास चुनने के लिए कितनी अलग-अलग श्रेणियाँ हैं — जैसे आइसक्रीम के 3 फ्लेवर।
- चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या (r): आप कुल मिलाकर कितनी बार चुनाव करते हैं, जहाँ एक ही प्रकार को बार-बार चुना जा सकता है।
दोनों को पूर्ण संख्याओं के रूप में दर्ज करें और कैलकुलेटर तुरंत एक परिणाम देता है: अलग-अलग बहुसमुच्चयों (multisets) की संख्या, यानी ऐसे चयन जिनमें क्रम मायने नहीं रखता पर दोहराव की अनुमति है।
सूत्र
यह टूल पुनरावृत्ति सहित संयोजनों का मानक समीकरण लागू करता है:
$$C^{R}(n,r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$
आंतरिक रूप से यह तीन क्रमगुणित (factorials) निकालता है — \((n + r - 1)!\), \(r!\) और \((n - 1)!\) — फिर ऊपर दिखाए अनुसार भाग देता है। चूँकि इसमें पूर्ण-संख्या अंकगणित के साथ सटीक क्रमगुणित प्रयोग होते हैं, इसलिए परिणाम एक सटीक पूर्णांक गिनती होता है, कोई अनुमान नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए एक आइसक्रीम की दुकान n = 3 फ्लेवर देती है और आप r = 2 स्कूप वाला कप चाहते हैं, जहाँ कोई फ्लेवर दोहराया भी जा सकता है। n = 3 और r = 2 रखें:
- $$n + r - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$$
- $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \mathbf{6}$$
यानी 2 स्कूप वाले 6 संभव कप बनते हैं: AA, BB, CC, AB, AC और BC। कैलकुलेटर तुरंत 6 लौटा देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह सामान्य संयोजनों से किस तरह अलग है? सामान्य संयोजन, \(C(n, r)\), में दोहराव की अनुमति नहीं होती — हर वस्तु अधिक से अधिक एक बार चुनी जाती है। पुनरावृत्ति सहित संयोजनों में एक ही प्रकार को कई बार चुना जा सकता है, इसी कारण हम \(C(n + r - 1, r)\) पर आते हैं।
क्या यहाँ क्रम मायने रखता है? नहीं। AB और BA को एक ही चयन गिना जाता है। यदि क्रम मायने रखता तो आप क्रमचय (permutations) का उपयोग करते।
क्या r का मान n से बड़ा हो सकता है? हाँ। चूँकि दोहराव की अनुमति है, आप प्रकारों की संख्या से अधिक वस्तुएं चुन सकते हैं — उदाहरण के लिए 3 फ्लेवर में से 5 स्कूप चुनना पूरी तरह वैध है और इससे बड़ी गिनती मिलती है।
