क्रमचय और संचय कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल बताता है कि n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से r वस्तुओं को व्यवस्थित या चयन करने के कितने तरीके होते हैं। क्रमचय (permutation) में क्रम मायने रखता है यानी यह क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की गिनती करता है, जबकि संचय (combination) में क्रम का कोई महत्व नहीं होता और यह केवल चयन गिनता है। ये दोनों प्रायिकता (probability), सांख्यिकी और संचय-गणित (combinatorics) की बुनियादी अवधारणाएँ हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
कुल वस्तुओं की संख्या n और जितनी वस्तुएँ आप चुनना चाहते हैं वह संख्या r दर्ज करें (ध्यान रहे \(r \le n\) हो)। कैलकुलेटर तुरंत \(P(n, r)\) और \(C(n, r)\) दोनों के मान दिखा देगा। उदाहरण के लिए, 5 लोगों में से 3 सदस्यों की समिति चुनना एक संचय है, जबकि 5 प्रतियोगियों में से 3 को क्रमबद्ध पुरस्कार (पहला, दूसरा, तीसरा) देना एक क्रमचय है।
सूत्र की व्याख्या
क्रमचय का सूत्र है $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ जो उन व्यवस्थाओं को गिनता है जिनमें क्रम मायने रखता है। संचय का सूत्र है $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ जिसमें चुने गए समूह को दोबारा क्रमबद्ध करने के \(r!\) तरीकों को विभाजित करके हटा दिया जाता है। चूँकि यहाँ क्रम को नज़रअंदाज़ किया जाता है, इसलिए \(C(n, r)\) हमेशा \(P(n, r)\) के बराबर या उससे कम होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 5\) और \(r = 3\)। तब $$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$ क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ होंगी। इसे \(3! = 6\) से विभाजित करने पर $$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$ बिना-क्रम वाले चयन मिलते हैं। यानी 5 धावकों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक बाँटने के 60 तरीके हैं, परन्तु उनमें से 3 को टीम के लिए चुनने के केवल 10 तरीके हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि r, n से बड़ा हो तो? जितनी वस्तुएँ मौजूद ही नहीं हैं, उनसे ज़्यादा आप चुन नहीं सकते, इसलिए दोनों परिणाम 0 आएँगे।
0! का मान क्या होता है? परिभाषा के अनुसार \(0! = 1\) होता है, इसलिए \(C(n, 0) = 1\) और \(P(n, 0) = 1\) आते हैं।
बड़े मानों में सटीकता क्यों कम हो जाती है? क्रमगुणित (factorial) बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, इसलिए लगभग 15 सार्थक अंकों से आगे के परिणाम अनुमानित फ़्लोटिंग-पॉइंट मान होते हैं।
