क्रमचय (Permutation) क्या है?
क्रमचय किसी वस्तुओं की ऐसी व्यवस्था है जिसमें क्रम (order) मायने रखता है। क्रमचय का सूत्र \(P(n,r)\) बताता है कि n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से r वस्तुएँ चुनकर उन्हें कितने अलग-अलग क्रमबद्ध तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। संचय (combination) के विपरीत, यहाँ अगर आप दो चुनी हुई वस्तुओं की जगह आपस में बदल दें तो वह एक नया और अलग क्रमचय बन जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कुल अलग-अलग वस्तुओं की संख्या (n) और जितनी वस्तुएँ आप चुनकर व्यवस्थित करना चाहते हैं उनकी संख्या (r) दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत क्रमचयों की संख्या दिखा देगा। ध्यान रखें कि r का मान n से कम या उसके बराबर होना चाहिए; अगर r, n से बड़ा होगा तो परिणाम 0 आएगा, क्योंकि उपलब्ध वस्तुओं से ज़्यादा वस्तुएँ चुनी नहीं जा सकतीं।
सूत्र की पूरी समझ
क्रमचय का सूत्र है $$P(n,r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ जहाँ "!" का मतलब क्रमगुणित (factorial) है — यानी उस संख्या तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल। व्यावहारिक रूप से यह n से शुरू होकर घटते हुए r लगातार पूर्णांकों के गुणनफल में सरल हो जाता है: \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\)। इससे बड़े-बड़े फैक्टोरियल सीधे निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी क्लब में 5 सदस्य हैं और उसे एक अध्यक्ष (President) और एक उपाध्यक्ष (Vice-President) चुनना है — यानी 5 में से 2 लोगों को चुनकर क्रम में रखना है। तब $$P(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20$$ यानी कुल 20 संभावित क्रमबद्ध परिणाम बनते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्रमचय और संचय (combination) में क्या अंतर है? क्रमचय में क्रम मायने रखता है, जबकि संचय में नहीं। \(P(n,r)\) हमेशा \(C(n,r)\) के बराबर या उससे बड़ा होता है।
\(P(n,0)\) कितना होता है? यह 1 के बराबर होता है — शून्य वस्तुओं को व्यवस्थित करने का बस एक ही तरीका है (खाली व्यवस्था)।
\(P(n,n)\) कितना होता है? यह \(n!\) के बराबर होता है, यानी सभी n वस्तुओं को क्रम में व्यवस्थित करने के कुल तरीके।
