नेकलेस परम्यूटेशन कैलकुलेटर (माला व्यवस्था गणना)

परिणाम

नेकलेस परम्यूटेशन की संख्या

अलग-अलग तरीके (घुमाव और पलटाव समान माने गए)

वस्तुएँ (n)	5
रैखिक परम्यूटेशन (n!)	120
सर्कुलर परम्यूटेशन (n-1)!	24

नेकलेस परम्यूटेशन क्या है?

नेकलेस परम्यूटेशन (जिसे माला व्यवस्था, या जापानी में "जुज़ु" परम्यूटेशन भी कहते हैं) यह गिनता है कि n अलग-अलग वस्तुओं को एक बंद लूप (माला की तरह) में कितने भिन्न तरीकों से सजाया जा सकता है, जहाँ दो व्यवस्थाएँ एक ही मानी जाती हैं अगर एक को घुमाकर या पलटकर (reflection) दूसरे में बदला जा सके। यह सर्कुलर परम्यूटेशन से एक कदम आगे है: सर्कुलर परम्यूटेशन में केवल घुमाव की समरूपता हटाई जाती है, जबकि नेकलेस में दर्पण (mirror) समरूपता भी हटा दी जाती है।

मनकों का गोला जिसमें घूर्णन का तीर और प्रतिबिंब की दर्पण रेखा है — हार में, घुमाने या प्रतिबिंब के बाद मेल खाने वाली व्यवस्थाएँ एक ही गिनी जाती हैं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अलग-अलग वस्तुओं की संख्या n (एक गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्या) दर्ज करें और कैलकुलेटर आपको अलग-अलग नेकलेस व्यवस्थाओं की संख्या बता देगा। तुलना के लिए यह रैखिक परम्यूटेशन ($n!$) और सर्कुलर परम्यूटेशन ($(n-1)!$) की संख्या भी दिखाता है। चूँकि फैक्टोरियल बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, इसलिए परिणाम सटीक आर्बिट्ररी-प्रिसीज़न इंटीजर गणित से निकाला जाता है, ताकि n के बड़े मान भी बिल्कुल सही दिखें।

सूत्र की व्याख्या

n वस्तुओं की रैखिक व्यवस्थाओं के लिए $n!$ क्रम होते हैं। लूप पर एक वस्तु को स्थिर करके n बराबर घुमावों को हटाने पर $(n-1)!$ सर्कुलर व्यवस्थाएँ बचती हैं। नेकलेस में इसके अलावा घड़ी की दिशा वाले पैटर्न और उसके विपरीत-दिशा वाले दर्पण प्रतिबिंब को भी समान माना जाता है, इसलिए हम एक बार और 2 से भाग देते हैं:

$$P = \frac{(n - 1)!}{2}$$ जब $n \ge 3$ हो।

n = 0, 1 और 2 के लिए यह सरल सूत्र एक गैर-पूर्णांक देगा या कम गिनती करेगा, इसलिए परंपरा के अनुसार इन तीनों मामलों में उत्तर 1 होता है: बिल्कुल एक (या खाली) अलग लूप मौजूद होता है।

तीन पैनल: सीधी पंक्ति में मनके, गोले में मनके, और प्रतिबिंबित गोला — एक मनके को स्थिर करने से घूर्णन $(n-1)!$ हट जाते हैं और 2 से भाग देने पर प्रतिबिंब हट जाते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

n = 5 के लिए: $$\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ अलग-अलग नेकलेस। n = 6 के लिए: $\frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60$। n = 4 के लिए: $\frac{3!}{2} = 3$।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यह सर्कुलर परम्यूटेशन से कैसे अलग है? सर्कुलर परम्यूटेशन $(n-1)!$ होता है और घुमावों को समान मानता है, लेकिन दर्पण प्रतिबिंब को अलग मानता है। नेकलेस परम्यूटेशन उसे 2 से भाग देता है क्योंकि पलटाव (flip) को भी समान माना जाता है।

n = 2 के लिए उत्तर 1 क्यों है? दो वस्तुओं के साथ केवल एक ही संभव लूप होता है; उसे घुमाने या पलटने से केवल दोनों स्थान आपस में बदलते हैं, इसलिए सभी व्यवस्थाएँ एक ही हो जाती हैं। यहाँ सूत्र $(2-1)!/2 = 1/2$ मान्य नहीं है, इसीलिए एक विशेष मामला इस्तेमाल किया जाता है।

क्या सूत्र यह मानता है कि सभी वस्तुएँ अलग-अलग हैं? हाँ। यह कैलकुलेटर मानता है कि n वस्तुएँ अलग-अलग हैं। अगर कुछ वस्तुएँ एक जैसी हों, तो गिनती कम हो जाती है और इसके लिए एक अलग तरीका (Burnside/Polya) चाहिए होता है।

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