Kolye permütasyonu nedir?
Kolye permütasyonu (bileklik dizilimi olarak da bilinir; Japoncada "juzu" permütasyonu adıyla geçer), n farklı nesneyi kapalı bir halka üzerinde kaç farklı şekilde dizebileceğinizi sayar. Burada iki dizilim, biri diğerine halkayı döndürerek ya da ters çevirerek (yansıma) dönüştürülebiliyorsa aynı kabul edilir. Bu kavram, dairesel permütasyonun bir adım ötesinde yer alır: dairesel permütasyon yalnızca döndürme simetrisini ortadan kaldırırken, kolye permütasyonu ayrıca ayna simetrisini de yok eder.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Farklı nesnelerin sayısını n olarak (negatif olmayan bir tam sayı) girin; araç size farklı kolye dizilimlerinin sayısını verir. Karşılaştırma yapabilmeniz için doğrusal permütasyon sayısını (\(n!\)) ve dairesel permütasyon sayısını (\((n-1)!\)) de gösterir. Faktöriyeller son derece hızlı büyüdüğü için sonuç, keyfi hassasiyetteki tam sayı aritmetiğiyle hesaplanır; böylece çok büyük n değerleri bile tam olarak görüntülenir.
Formülün açıklaması
n nesnenin doğrusal dizilimi için \(n!\) farklı sıralama vardır. Halka üzerinde bir nesneyi sabitleyerek birbirine eşdeğer n döndürmeyi elediğimizde geriye \((n-1)!\) dairesel dizilim kalır. Kolye permütasyonu, saat yönündeki bir deseni ile saat yönünün tersindeki ayna görüntüsünü de aynı saydığından bir kez daha 2'ye böleriz:
$$P = \frac{(n - 1)!}{2}$$ (n ≥ 3 için).
n = 0, 1 ve 2 değerlerinde basit formül tam sayı vermez veya eksik sayar; bu nedenle bu durumlarda sonuç tanım gereği 1 alınır: tam olarak bir tane (ya da boş) farklı halka vardır.
Çözümlü örnek
n = 5 için: $$\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ farklı kolye. n = 6 için: \(\frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60\). n = 4 için: \(\frac{3!}{2} = 3\).
Sıkça sorulan sorular
Bu, dairesel permütasyondan nasıl farklı? Dairesel permütasyon \((n-1)!\) şeklindedir ve döndürmeleri aynı sayar ama ayna görüntülerini farklı kabul eder. Kolye permütasyonu ise ters çevirmeleri de aynı saydığı için bunu 2'ye böler.
n = 2 için cevap neden 1? İki nesneyle yalnızca tek bir halka oluşturulabilir; halkayı döndürmek ya da ters çevirmek sadece iki konumu yer değiştirir, dolayısıyla bütün dizilimler örtüşür. \(\frac{(2-1)!}{2} = \frac{1}{2}\) formülü burada geçerli olmadığından özel bir durum kullanılır.
Formül tüm nesnelerin farklı olduğunu mu varsayar? Evet. Bu araç n adet farklı nesne olduğunu varsayar. Bazı nesneler birbirinin aynısıysa sayı daha küçük olur ve farklı bir yaklaşım (Burnside/Pólya yöntemi) gerektirir.
