¿Qué es una permutación en collar?
Una permutación en collar (también llamada disposición en pulsera o, en japonés, permutación «juzu») cuenta de cuántas formas distintas se pueden colocar n objetos diferentes alrededor de un lazo cerrado, considerando idénticas dos disposiciones cuando una se obtiene de la otra al girar el lazo o al darle la vuelta (una reflexión). Va un paso más allá de la permutación circular: esta última elimina solo la simetría de rotación, mientras que el collar elimina además la simetría especular.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de objetos distintos n (un número entero no negativo) y la calculadora te devolverá cuántas disposiciones de collar diferentes existen. Para que puedas compararlas, también muestra el número de permutaciones lineales (\(n!\)) y el de permutaciones circulares (\((n-1)!\)). Como los factoriales crecen a una velocidad enorme, el resultado se calcula con aritmética entera de precisión arbitraria, de modo que incluso los valores grandes de n se muestran de forma exacta.
La fórmula al detalle
Con n objetos en fila hay \(n!\) ordenaciones posibles. Si fijamos uno de los objetos en el lazo para eliminar las n rotaciones equivalentes, nos quedan \((n-1)!\) disposiciones circulares. El collar, además, considera idénticos un patrón en sentido horario y su imagen especular en sentido antihorario, así que dividimos una vez más entre 2:
$$P = \frac{(n - 1)!}{2}$$ para \(n \ge 3\).
Para n = 0, 1 y 2 la fórmula simple daría un valor no entero o contaría de menos, así que por convención la respuesta es 1 en cada uno de esos casos: existe exactamente un lazo distinto (o ninguno).
Ejemplo resuelto
Para n = 5: $$\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ collares distintos. Para n = 6: \(\frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60\). Para n = 4: \(\frac{3!}{2} = 3\).
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia de una permutación circular? Una permutación circular es \((n-1)!\) y considera idénticas las rotaciones, pero distintas las imágenes especulares. La permutación en collar divide ese valor entre 2, porque también trata las reflexiones como iguales.
¿Por qué la respuesta es 1 cuando n = 2? Con dos objetos solo hay un lazo posible; girarlo o darle la vuelta simplemente intercambia las dos posiciones, así que todas las disposiciones coinciden. La fórmula \(\frac{(2-1)!}{2} = \frac{1}{2}\) no es válida en este caso, y por eso se aplica una regla especial.
¿La fórmula da por hecho que todos los objetos son diferentes? Sí. Esta calculadora supone que hay n objetos distintos. Si algunos objetos son idénticos, el recuento es menor y requiere un tratamiento diferente (mediante el lema de Burnside o la teoría de Pólya).
