¿Qué es la función sigmoide?
La función sigmoide, también conocida como función logística, comprime cualquier número real dentro del intervalo abierto (0, 1) trazando una suave curva en forma de S. Se define como $$\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-\text{a}\,x}}$$ y es una de las funciones de activación más utilizadas en las redes neuronales, además de un pilar de la regresión logística, el modelado de probabilidades y las curvas de crecimiento. El parámetro de ganancia \(\text{a}\) determina lo abrupta que es la transición: con \(\text{a} = 1\) se obtiene la sigmoide clásica de los libros de texto, mientras que valores mayores de \(\text{a}\) estrechan la transición hasta acercarla a una función escalón.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la ganancia \(\text{a}\) y, a continuación, el rango en el que quieres evaluar la función: el valor mínimo de \(x\), el valor máximo de \(x\) y el paso (incremento) de \(x\). La herramienta construye una tabla con \(\sigma(x)\), su primera derivada \(\sigma'(x)\) y su segunda derivada \(\sigma''(x)\) en cada paso, y muestra los valores puntuales en la \(x\) opcional que indiques. Asegúrate de que el paso sea mayor que cero y de que el máximo de \(x\) sea al menos igual al mínimo de \(x\); de lo contrario, no se generará ninguna fila.
Las fórmulas explicadas
Las derivadas adoptan formas especialmente limpias cuando se expresan en función de la propia \(\sigma\). Al derivar se obtiene $$\sigma'(x) = \text{a}\,\sigma(x)\bigl(1 - \sigma(x)\bigr)$$ que siempre es positiva (la curva es monótonamente creciente) y alcanza su valor máximo de \(\frac{\text{a}}{4}\) en el punto de inflexión \(x = 0\). La segunda derivada, $$\sigma''(x) = \text{a}^{2}\,\sigma(x)\bigl(1 - \sigma(x)\bigr)\bigl(1 - 2\,\sigma(x)\bigr)$$ cambia de signo en \(x = 0\), donde \(\sigma = 0{,}5\), lo que confirma el punto de inflexión.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\text{a} = 1\) y \(x = 2\). Entonces \(e^{-2} = 0{,}135335\), de modo que $$\sigma(2) = \frac{1}{1{,}135335} = 0{,}880797$$ La primera derivada es \(0{,}880797 \cdot (1 - 0{,}880797) = 0{,}104994\). La segunda derivada es \(0{,}104994 \cdot (1 - 2 \cdot 0{,}880797) = 0{,}104994 \cdot (-0{,}761594) = -0{,}079963\). En \(x = 0\) los valores son \(\sigma = 0{,}5\), \(\sigma' = 0{,}25\) y \(\sigma'' = 0\).
Preguntas frecuentes
¿Qué hace la ganancia \(\text{a}\)? Escala la entrada. Una \(\text{a}\) mayor hace que la curva suba más rápido alrededor de \(x = 0\); a medida que \(\text{a}\) crece, la sigmoide se aproxima a un escalón abrupto, mientras que \(\text{a} = 0\) produce una línea plana en \(0{,}5\).
¿Dónde está el punto más pronunciado? Siempre en \(x = 0\), donde la pendiente es igual a \(\frac{\text{a}}{4}\) y la segunda derivada vale cero.
¿Por qué el resultado nunca es exactamente 0 ni 1? La exponencial nunca llega a cero para una \(x\) finita, por lo que \(\sigma\) permanece estrictamente dentro de (0, 1). Para valores muy grandes de \(|\text{a}\,x|\) el resultado se redondea numéricamente a 0 o a 1, algo que esta calculadora gestiona de forma segura.
