ما هي الدالة السينية؟
الدالة السينية، أو ما يُعرف بالدالة اللوجستية، تضغط أي عدد حقيقي ليقع داخل المجال المفتوح (0، 1) عبر منحنى ناعم على شكل حرف S. وتُعرَّف بالصيغة \(\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-\text{a}\,x}}\)، وهي من أكثر دوال التنشيط استخدامًا في الشبكات العصبية، وركيزة أساسية في الانحدار اللوجستي ونمذجة الاحتمالات ومنحنيات النمو. أما معامل الكسب \(\text{a}\) فيتحكم في حدّة الانتقال: فعند \(\text{a} = 1\) تحصل على الدالة السينية الكلاسيكية المعروفة في الكتب الدراسية، بينما تجعل القيم الأكبر من \(\text{a}\) الانتقال أكثر انضغاطًا حتى يقترب من دالة الخطوة (step function).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل معامل الكسب \(\text{a}\)، ثم حدّد المدى الذي تريد تقييم الدالة عليه: أصغر قيمة لـ \(x\)، وأكبر قيمة لـ \(x\)، ومقدار الخطوة (الزيادة). تبني الأداة جدولًا يعرض قيمة \(\sigma(x)\) ومشتقتها الأولى \(\sigma'(x)\) ومشتقتها الثانية \(\sigma''(x)\) عند كل خطوة، كما تعرض القيم عند نقطة مفردة اختيارية إذا أدخلت قيمة \(x\). تأكد من أن مقدار الخطوة أكبر من الصفر، وأن أكبر قيمة لـ \(x\) لا تقل عن أصغر قيمة لها، وإلا فلن يُنتَج أي صف في الجدول.
شرح الصيغ
تأخذ المشتقات صيغًا بالغة الأناقة عند التعبير عنها بدلالة \(\sigma\) نفسها. فاشتقاق الدالة يعطي
$$\sigma^{\prime}(x) = \text{a}\,\sigma(x)\bigl(1 - \sigma(x)\bigr)$$وهي قيمة موجبة دائمًا (أي أن المنحنى متزايد بشكل رتيب)، وتبلغ ذروتها \(\frac{\text{a}}{4}\) عند نقطة الانعطاف \(x = 0\). أما المشتقة الثانية فهي
$$\sigma^{\prime\prime}(x) = \text{a}^{2}\,\sigma(x)\bigl(1 - \sigma(x)\bigr)\bigl(1 - 2\,\sigma(x)\bigr)$$وهي تُغيّر إشارتها عند \(x = 0\) حيث \(\sigma = 0.5\)، وهو ما يؤكد وجود نقطة الانعطاف عندها.
مثال محلول
لنأخذ \(\text{a} = 1\) و\(x = 2\). عندها يكون \(e^{-2} = 0.135335\)، ومن ثمّ
$$\sigma(2) = \frac{1}{1.135335} = 0.880797$$أما المشتقة الأولى فهي
$$0.880797 \cdot (1 - 0.880797) = 0.104994$$والمشتقة الثانية تساوي
$$0.104994 \cdot (1 - 2 \cdot 0.880797) = 0.104994 \cdot (-0.761594) = -0.079963$$وعند \(x = 0\) تكون القيم: \(\sigma = 0.5\)، و\(\sigma' = 0.25\)، و\(\sigma'' = 0\).
الأسئلة الشائعة
ما وظيفة معامل الكسب \(\text{a}\)؟ إنه يضبط مقياس المُدخل. فكلما زادت قيمة \(\text{a}\) ارتفع المنحنى بشكل أسرع حول \(x = 0\)؛ ومع نمو \(\text{a}\) تقترب الدالة السينية من خطوة حادة، بينما تعطي القيمة \(\text{a} = 0\) خطًا مستقيمًا أفقيًا ثابتًا عند 0.5.
أين تقع أكثر النقاط انحدارًا؟ دائمًا عند \(x = 0\)، حيث يساوي الميل \(\frac{\text{a}}{4}\) وتكون المشتقة الثانية صفرًا.
لماذا لا يبلغ الناتج 0 أو 1 بالضبط أبدًا؟ لأن الدالة الأسية لا تصل إلى الصفر عند أي قيمة محدودة لـ \(x\)، ولذلك تبقى \(\sigma\) محصورة تمامًا داخل المجال (0، 1). أما عند القيم الكبيرة جدًا لـ \(|\text{a}\cdot x|\) فتُقرَّب القيمة عدديًا إلى 0 أو 1، وهو ما تتعامل معه هذه الحاسبة بأمان.
