ما هو تبديل العِقد؟
يحسب تبديل العِقد (يُعرف في اليابانية باسم "جوزو جونريتسو" أو تبديل المسبحة) عددَ الطرق المختلفة لترتيب n من العناصر المتمايزة حول دائرة، مع اعتبار ترتيبين متطابقين إذا أمكن تحويل أحدهما إلى الآخر إمّا بتدوير الدائرة أو بقلب العِقد بأكمله (الانعكاس). ويختلف هذا عن التبديل الدائري ("إن جونريتسو") الذي يعتبر الدورانَ فقط مكافئاً. وهذه نتيجة عامة في علم التوافيق — فالصيغة واحدة في كل مكان ولا تتعلق بأي بلد أو قاعدة محلية.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة البداية وقيمة النهاية لـ \(n\) (كلٌّ منهما بين 1 و100)، واختر دقة العرض بعدد الأرقام المعنوية، وستطبع الأداة صفّاً واحداً لكل عدد صحيح \(n\) ضمن هذا النطاق مع عدد تباديل العِقد المقابل له. ولأن هذه الأعداد تنمو نموّاً عاملياً (factorial)، تُعرَض القيم الكبيرة بالصيغة العلمية مقرّبةً إلى عدد الأرقام المعنوية الذي اخترته، بينما تُعرَض القيم التي تتّسع تماماً بشكلها الكامل.
شرح الصيغة
نبدأ بجميع الترتيبات الخطية البالغ عددها \(n!\) لـ \(n\) من العناصر المتمايزة. عند وضعها في دائرة، تصبح الدورانات الـ \(n\) لأي ترتيب متطابقةً، فنقسم على \(n\) لنحصل على التباديل الدائرية: \(n!/n = (n-1)!\). ويمكن أيضاً قلب العِقد، مما يقرن كل ترتيب بصورته المرآتية، فنقسم على 2 إضافية:
$$N(n) = \dfrac{(n-1)!}{2}, \quad n = \text{Start } n \;\ldots\; \text{End } n$$وعند \(n = 1\) أو \(n = 2\) لا يكون الناتج عدداً صحيحاً، لذا يُعطى بالاصطلاح ترتيب واحد بالضبط لكلٍّ منهما.
مثال محلول
للنطاق من \(n = 3\) إلى 8: عند \(n=3\) يكون \((3-1)!/2 = 2/2 = 1\)؛ وعند \(n=4\) يكون \(6/2 = 3\)؛ وعند \(n=5\) يكون \(24/2 = 12\)؛ وعند \(n=6\) يكون \(120/2 = 60\)؛ وعند \(n=7\) يكون \(720/2 = 360\)؛ وعند \(n=8\) يكون \(5040/2 = 2520\). وفي أعلى النطاق الافتراضي، عند \(n=30\) يكون \(29!/2 = 4{,}420{,}880{,}996{,}869{,}850{,}977{,}271{,}808{,}000{,}000\)، أي نحو \(4.42 \times 10^{30}\).
الأسئلة الشائعة
لماذا نقسم على 2؟ يزيل العامل 2 تماثل الانعكاس: فالعِقد يبدو نفسه عند قلبه، لذا تُحسب نسختا الترتيب الدوري نفسه (في اتجاه عقارب الساعة وعكسها) مرّة واحدة فقط.
لماذا تُعدّ الحالتان \(n=1\) و \(n=2\) خاصّتين؟ تعطي الصيغة العامة 0.5 في كلتيهما، وهو ليس عدداً صحيحاً صالحاً؛ وهندسياً لا توجد سوى طريقة واحدة لترتيب عنصر واحد أو عنصرين، لذا نعتمد القيمة 1.
ما الفرق عن التباديل الدائرية؟ تَعُدّ التباديل الدائرية حتى الدوران فقط وتساوي \((n-1)!\)؛ أما تباديل العِقد فتسمح إضافةً بالانعكاس وتساوي \((n-1)!/2\) عند \(n \geq 3\).
